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o
:
che ha il vantaggio di non richiedere <math>p</math>.
== Storia ==
La formula è attribuita a [[Erone di Alessandria]], vissuto nel [[I secolo]], perché se ne può trovare una dimostrazione nel suo libro ''Metrica''. Secondo la testimonianza di [[al-Biruni]] la formula sarebbe però da attribuire ad [[Archimede]].<ref>{{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>
Esiste una formula equivalente a quella di Erone:
:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}</math><math>a \ge b \ge c.</math>
Essa venne scoperta in [[Cina]], indipendentemente dalle scoperte di Erone. Venne pubblicata nel ''Shushu Jiuzhang'' (''Trattato di matematica in nove sezioni''), scritto da [[Qin Jiushao]] e pubblicato nel [[1257]].
== Dimostrazione ==
[[Immagine:Altezze triangolo.png|300px|right]]
Quella che segue è una [[dimostrazione matematica|dimostrazione]] moderna, che utilizza l'[[algebra]] e la [[trigonometria]] ed è quindi piuttosto diversa da quella fornita da Erone. Siano <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> i lati del triangolo e <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> gli [[angolo|angoli]] opposti a essi. Abbiamo:
:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},</math>
per il [[Legge del coseno|teorema di Carnot]]. Con alcuni calcoli algebrici otteniamo:
:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.</math>
L'[[altezza (geometria)|altezza]] di un triangolo relativa alla base <math>a</math> ha lunghezza pari a <math>b\sin(C)</math>, da cui segue:
:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altezza})=</math>
:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)=</math>
:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}=</math>
:<math>\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.</math>
I semplici calcoli algebrici dell'ultimo passaggio sono stati omessi.
<!--
=== Dimostrazione geometrica ===
[[Immagine:Heron's formula.svg|350px|right|Formula di Erone]] Si prenda un triangolo ABC e il relativo [[incerchio]] con [[incentro]] in O, e tangente ai lati nei punti D, E e F; per le proprietà della circonferenza inscritte
# il centro O è equidistante da tutti i lati, per cui:
#: OE = OF = OD
# il centro O è il punto comune a tutte e tre le [[bisettrice bisettrici]] del triangolo, per cui valgono le seguente uguaglianze tra gli angoli
#:<math>\widehat{FAO}=\widehat{EAO}</math> -->
== Dimostrazione attraverso il teorema di Pitagora ==
[[File:Triangle with notations 3.svg|thumb|upright=1.2|L'altezza ''h'' del triangolo divide la base ''c'' in ''d'' + (''c'' − ''d'').]]
La dimostrazione originale di Erone faceva uso dei [[Quadrilatero ciclico|quadrilateri ciclici]], mentre altri ragionamenti fanno appello alla [[trigonometria]] (come sopra), o all'[[incerchio]] del triangolo<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt]</ref>. La dimostrazione seguente riconduce la formula di Erone direttamente al [[teorema di Pitagora]], utilizzando soltanto strumenti elementari.
Fare riferimento alla figura a fianco. La formula di Erone può assumere anche la seguente forma:
:<math> 4A^2 = 4p(p-a)(p-b)(p-c),</math>
semplicemente elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando poi per <math>4</math>. Si osserva ora che indicando con <math>c</math> la base e <math>h</math> l'altezza del triangolo, il primo membro dell'espressione precedente si può scrivere come <math>(ch)^2</math>, o anche
:<math> c^2(b^2-d^2) = (cb)^2-(cd)^2,</math>
perché per il [[teorema di Pitagora]] si ha: <math>b^2-d^2=h^2</math> a destra, la formula di Erone si riduce, per mezzo dell'identità <math>(s+q)^2-(s-q)^2=4sq</math>, a
:<math>(p(p-a)+(p-b)(p-c))^2 - (p(p-a)-(p-b)(p-c))^2.</math>
Basta perciò mostrare che
:<math>cb=p(p-a)+(p-b)(p-c),</math>
e che
:<math>cd = p(p-a)-(p-b)(p-c).</math>
La prima si ottiene immediatamente sostituendo <math>(a+b+c)/2</math> al posto di <math>p</math> e semplificando. Facendo questo all'interno della seconda, si ottiene <math>p(p-a)(p-b)(p-c)</math> solo fino a <math>(b^2+c^2-a^2)/2</math>. Ma se sostituiamo <math>b^2</math> con <math>d^2+h^2</math> e <math>a^2</math> con <math>(c-d)^2 +h^2</math>, entrambe da Pitagora, semplificando si ottiene infine <math>cd</math> come richiesto.
== Stabilità numerica ==
La formula di Erone come descritta sopra è [[Stabilità numerica|numericamente instabile]] per triangoli con un angolo molto piccolo. Un'alternativa stabile<ref>W. Kahan [http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle]</ref> richiede la predisposizione dei lati in modo tale che <math>a\ge b \ge c</math> e il calcolo di
:<math>A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>
Le parentesi in tale formula sono necessarie per evitare un'instabilità numerica nella valutazione.
== Dimostrazione alternativa ==
Sia <math>ABC</math> un triangolo, per comodità <math>a=AB</math>, <math>b=BC</math> e <math>c=AC</math>. Si disponga il triangolo su un piano cartesiano in modo tale da avere <math>A=(0,0)</math>, <math>B=(a,0)</math> e <math>C=(x,y)</math>. Quindi
:<math> c = \sqrt{x^2+y^2},</math>
e
:<math> b = \sqrt{(x-a)^2+y^2}.</math>
Risolvendo questo sistema si ottengono le coordinate del punto <math>C</math> che sono
:<math>\left(\frac{(a^2-b^2+c^2)}{2a},\frac{\sqrt{(4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2)}}{2a}\right).</math>
Dalla formula base del calcolo dell'area si ha <math>\frac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2}}{4}</math> che dopo alcune semplificazioni sarà <math>\frac{\sqrt{(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)}}{4}</math>.
== Generalizzazioni ==
La formula di Erone è un caso speciale della [[formula di Brahmagupta]] per l'area di un [[quadrilatero ciclico]], ed entrambe sono casi speciali della [[formula di Bretschneider]] per l'area di un [[quadrilatero]] generico. La formula di Erone può essere ottenuta dalla formula di Brahmagupta o dalla formula di Bretschneider ponendo uno dei lati del quadrilatero pari a zero.
La formula di Erone è anche un caso speciale della formula per il calcolo dell'area del [[Trapezio (geometria)|trapezio]] basata unicamente sui suoi lati. In questo caso, la formula di Erone può essere ottenuta ponendo la base minore del trapezio pari a zero.
Esprimere la formula di Erone con un [[determinante]] in termini dei quadrati delle [[distanza (matematica)|distanze]] fra tre vertici assegnati, illustra la sua somiglianza alla [[formula di Tartaglia]] per il [[volume]] di un [[Ipertetraedro|3-simplesso]].
:<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} } </math>
== Note ==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[Geometria sintetica]]
* [[Radice quadrata]]
* [[Formula di Brahmagupta]]
== Collegamenti esterni ==
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula] su [[cut-the-knot]]
* {{cita web|http://www.mathopenref.com/heronsformula.html|Interactive applet and area calculator using Heron's Formula}}
* {{cita web|http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt|J.H. Conway discussion on Heron's Formula}}
* {{cita web|http://www.mathpages.com/home/kmath196/kmath196.htm|Kevin Brown's simplification of Heron's Pythagorean argument}}
* {{cita web|http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html|A Geometric Proof of Heron's Formula}}
* {{cita web|http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Heron/HeronProofAlg.html|An algebrical proof of Heron's Formula}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Formule matematiche]]
[[Categoria:Geometria del triangolo]]
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