Teorema di Rouché: differenze tra le versioni

:<math>N_f={1\over 2\pi i}\oint_C {f'(z) \over f(z)}\,dz.</math>

Osserviamo che dalle ipotesi segue che <math>f</math> non ha zeri su <math>C</math> e che <math>\left|\frac{h\over }{f}-1\right| < 1</math> su <math>C</math>. Dunque <math>\left|\frac{h\over }{f}-1\right| < 1</math> su tutto un aperto <math>\Omega</math> contenuto nel dominio di definizione di <math>f</math> e <math>h</math> e contenente il supporto di <math>C</math>.

Ne consegue che, detta <math>\log</math> la determinazione principale del logaritmo complesso, avendo <math>\left.\frac{h \over }{f}\right|_\Omega</math> immagine contenuta nel disco aperto di centro 1 e raggio 1, possiamo comporre <math>\log</math> con la restrizione di <math>h \over f</math> a <math>\Omega</math>, ottenendo una funzione olomorfa su <math>\Omega</math>.

:<math>N_h-N_f={1\over 2\pi i}\oint_C {h'(z) \over h(z)}\,dz-{1\over 2\pi i}\oint_C {f'(z) \over f(z)}\,dz</math>

:<math>={1\over 2\pi i}\oint_C \left({h'(z) \over h(z)}-{f'(z) \over f(z)}\right) \,dz</math>

:<math>={1\over 2\pi i}\oint_C \left({d \over dz} \left(\log\left(\left.{h \over f}\right|_\Omega\right)\right)\right) \,dz=0.</math> [[QED]].