Teorema di Weierstrass: differenze tra le versioni

Sia <math>f\colon [a,b] \to \R </math> una [[funzione continua]], allora <math>f(x)</math> ammette (almeno) un punto di massimo assolutorelativo e uno di minimo assolutorelativo nell'intervallo <math>[a,b]</math>.

Poiché <math>f</math> è una funzione continua, essa trasforma [[insieme compatto|insiemi compatti]] in insiemi compatti. Dato che <math>[a,b]</math> è un intervallo [[insieme chiuso|chiuso]] e [[insieme limitato|limitato]], per il [[teorema di Heine-Borel]] è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante <math>f</math> sarà un compatto di <math>\R </math>, e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero <math>f </math> assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in <math>[a,b]</math> sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assolutirelativi.

Poniamo <math>s = \sup(f[a,b])</math> e individuiamo una successione <math>(y_n)_{n\in\Bbb N}</math>, <math>y_n \in f[a,b]</math>, tale che <math>y_n \rightarrow s</math> per <math>n \rightarrow \infty</math>. Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che <math>\forall n\in\Bbb N\;\exists y_n\in f[a,b]</math> tale che <math>s-\frac1n\leq y_n\leq s</math>. Per ogni <math>n</math> scegliamo ora <math>t_n \in [a,b]</math> tale che <math>f(t_n) = y_n</math>. Siccome <math>[a,b]</math> è limitato, la successione <math>(t_n)_{n\in\Bbb N}</math> è limitata, quindi per il [[teorema di Bolzano - Weierstrass]] ammette una sottosuccessione <math>(t_{n_k})_{k\in\Bbb N}</math> convergente; sia <math>x_2 \in [a,b]</math> il suo limite per <math>k\to\infty</math>. Per la continuità di <math>f</math>, abbiamo: <math>y_{n_k}= f(t_{n_k})\rightarrow f(x_2)</math> per <math>k \rightarrow \infty</math>. D'altra parte <math>y_{n_k} \to s</math> per <math>k \rightarrow \infty</math>. Quindi per l'[[Teorema_di_unicità_del_limite|unicità del limite]] abbiamo <math>s = f(x_2)</math>, cioè la funzione ha in <math>x_2</math> il valore massimo assolutorelativo.

Sia <math>(X,\mathcal{T})</math> uno spazio topologico e sia <math>f\colon X\to \R</math> continua in <math>X</math>. Allora se <math>X</math> è uno [[spazio compatto]]<ref>{{Cita|P. M. Soardi|p.183|soardi}}</ref>, <math>f(x)</math> ammette massimo e minimo assolutirelativi in <math>X</math>. Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di <math>X</math>. La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.