Metodo delle tangenti: differenze tra le versioni
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Il matematico francese [[François Viète]] presentò nel 1600<ref>[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/13_deuflhard-peter.pdf]</ref> un metodo, già noto nel 1427 da [[al-Khasi]], per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata. Quattro anni dopo Newton venne a conoscenza del metodo di Vietè e nel 1669 scoprí autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.
Come esempio mostra la seguente equazione <math> f(x)=x^3-2x-5=0 </math> una cui soluzione ha parte intera <math> x_0=2 </math>. Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math>
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
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Consideriamo una [[funzione]] undimensione <math>f \in C^2[a,b] </math>, e quindi per il [[Teorema di Weierstrass]] la funzione ammette un minimo <math> x </math> da determinare.
Per cui, preso un punto <math> x_0 </math> nell'intervallo, sfruttando la serie di Taylor di f, si trova che <math> f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(r(x))</math> con <math>r(x)</math> compreso tra <math> x </math> e <math> x_0</math>.
Per cui, se <math> |x-x_0| </math> è sufficientemente piccolo, ossia <math> (x-x_0)^2 \approx 0</math>, si ricava
<math> x \approx x_0- \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = x_1 </math>. Osservare che l'ultima relazione ha senso solo se <math> f'(x_0) </math> non è nullo. Una volta trovato <math> x_1 </math> si reitera il procedimento.
Si è trovato così il seguente algoritmo:
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== Caso multidimensionale ==
Consideriamo una [[funzione]] <math>f \in C^2(\R^n) </math> e sia <math> x \in \R^n </math> lo zero da determinare. Sfruttando lo sviluppo in serie di Taylor si ha che, preso un generico vettore <math> h \in \R^n </math>:
<math> f(x+h) = f(x)+J(x)h + O(\|h\|^2) </math>
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