Numero complesso: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 38:
=== Cenni storici ===
{{vedi anche|Storia dei numeri complessi}}
I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel [[XVI secolo]] nelle formule di risoluzione delle [[equazione di terzo grado|equazioni di terzo]] e [[equazione di quarto grado|quarto grado]] di [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]]. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono [[Scipione Dal Ferro]], il [[Rafael Bombelli|Bombelli]] e anche [[Niccolò Tartaglia]], quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a [[Girolamo Cardano]] con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota Ars Magna del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.
Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici [[algebra|algebrici]] utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": [[Cartesio]] nel [[XVII secolo]] li chiamò "numeri immaginari". [[Abraham de Moivre]] ed [[Eulero]] nel [[XVIII secolo]] iniziarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di [[Gauss]]. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.
Line 133 ⟶ 131:
:<math> ( a + ib )( c + id ) = ( ac - bd ) + i ( bc + ad )</math>
In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione
:<math> z = re^{i\theta} </math>
e le proprietà della [[funzione esponenziale]], il prodotto di due numeri complessi
Line 216 ⟶ 213:
:<math>a\leq b, \Rightarrow a+c\leq b+c,</math>
:<math>a\geq 0, b\geq 0 \Rightarrow ab \geq 0,</math>
come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se <math>i</math> è maggiore o minore di <math>0</math>, né studiare [[disequazione|disequazioni]] nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece <math>i^2=-1</math>▼
▲Quindi non ha senso chiedere ad esempio se <math>i</math> è maggiore o minore di <math>0</math>, né studiare [[disequazione|disequazioni]] nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece <math>i^2=-1</math>
Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di [[ordine lessicografico]], e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in [[Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel|ZFC]] stante l'[[assioma della scelta]]), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla [[metrica indotta]] da una [[Norma (matematica)|norma]].
Line 234 ⟶ 230:
== Analisi complessa ==
{{vedi anche|Analisi complessa}}
Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto [[analisi complessa]] e trova largo impiego nella [[matematica applicata]] e nella [[teoria dei numeri]], oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'[[analisi reale]] o persino della [[teoria dei numeri]] impiegano tecniche di analisi complessa (vedi [[teorema dei numeri primi]] per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce [[Immagini conformi]]). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.
== Applicazioni ==
Line 266 ⟶ 261:
=== Elettrotecnica ed elettronica ===
Nell'[[ingegneria elettrica]] ed [[ingegneria elettronica|elettronica]] vengono utilizzati per indicare la [[Potenziale elettrico|tensione]] e la [[Corrente elettrica|corrente]]. L'analisi dei componenti [[resistenza elettrica|resistivi]], [[Condensatore (elettrotecnica)|capacitivi]] e [[induttore|induttivi]] è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta [[impedenza]], semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera ''j'' per indicare l'unità immaginaria, dato che la ''i'' è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del [[XX secolo]], stabilivano ''j'' = ''-i'', cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con ''j'' oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui ''j''=''i''▼
▲[[resistenza elettrica|resistivi]], [[Condensatore (elettrotecnica)|capacitivi]] e [[induttore|induttivi]] è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta [[impedenza]], semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera ''j'' per indicare l'unità immaginaria, dato che la ''i'' è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del [[XX secolo]], stabilivano ''j'' = ''-i'', cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi.
== Bibliografia ==
Line 274 ⟶ 267:
* {{en}} E. Freitag, R. Busam, ''Complex Analysis''; Springer-Verlag (2005).
*{{cita libro | cognome= Lounesto | nome= P. | titolo= Clifford Algebras and Spinors | editore= Cambridge University Press| anno= 1997|isbn= 0-521-59916-4|cid =loune|lingua= en}}
* {{en}}
* {{en}}
== Voci correlate ==
Line 304 ⟶ 297:
== Collegamenti esterni ==
* {{lingue|ar|en|es|fr}}
* [http://www.sandroronca.it/matematica/complessi/complex0.html Numeri Complessi]. Una lezione interattiva
* [http://fismat.wikidot.com/immaginari I numeri complessi]. Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.
| |||