Similitudine (geometria): differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
←Pagina svuotata completamente |
LiveRC : Annullate le modifiche di 213.82.230.74 (discussione), riportata alla versione precedente di Giacomo Seics |
||
Riga 1:
{{F|geometria|novembre 2010}}
[[Immagine:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|upright=1.4|Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.]]
La '''similitudine''' è una particolare [[trasformazione geometrica]], contenuta nel [[piano (geometria)|piano]] o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ogni similitudine ''f'', esiste un [[numero reale]] positivo ''k'' tale che
:<math>d(f(A),f(B))=k\cdot d(A,B)</math>
per ogni coppia di punti ''(A,B)''.
Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una ''[[omotetia]]'' ed una ''[[isometria]]'', o viceversa.
Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".
== Esempi ==
Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i [[quadrato|quadrati]] sono simili: più in generale, tutti i [[poligono regolare|poligoni regolari]] con un numero fissato di lati e la stessa ampiezza degli angoli, sono simili.
Tutte le [[parabola (geometria)|parabole]] sono simili fra loro, mentre [[ellisse|ellissi]] ed [[iperbole (geometria)|iperboli]] non lo sono necessariamente.
Quando due oggetti <math> P </math> e <math> Q </math> sono simili, si scrive generalmente
:<math> P\sim Q\,\!. </math>
== Geometria affine ==
In [[geometria affine]], una similitudine del [[piano cartesiano]] è una particolare [[affinità (geometria descrittiva)|affinità]]
:<math>f(x) = Ax+b.</math>
In questa notazione <math>x</math> indica un generico punto del piano <math>(x_1,x_2)</math>, mentre <math>A</math> è una [[matrice 2x2]]
:<math> A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} </math>
e <math>b</math> è un vettore colonna fissato <math>(b_1,b_2)</math>. Nella notazione si fa uso della [[moltiplicazione fra matrici]].
Una affinità descritta in questo modo è una similitudine [[se e solo se]]:
:<math>a_{11}^2 + a_{21}^2 = a_{12}^2 + a_{22}^2 = |a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}| = |\det A| \neq 0.</math>
Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti <math>a_{ij}</math> siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:
*<math>a_{11} = a_{22} \wedge a_{12} = -a_{21}</math>, oppure
*<math>a_{11} = -a_{22} \wedge a_{12} = a_{21}</math>.
Nel primo caso, il [[determinante]] di <math>A</math> è positivo, la similitudine preserva l'[[orientazione]] e si dice ''diretta''. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice ''inversa''.
== Poligoni ==
[[File:Fotothek df tg 0000029 Geometrie ^ Vermessung ^ Gelände ^ Quadrant.jpg|thumb|upright=1.4|Misurazioni tramite il calcolo di poligoni primi (stampa del 1607)]]
=== Triangoli simili ===
Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:
<ol>
<li> Due triangoli sono simili [[se e solo se]] hanno ordinatamente tre angoli [[Congruenza_(geometria)|congruenti]].
*'''Corollario 1'''. Due triangoli equilateri sono simili.
*'''Corollario 2'''. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
*'''Corollario 3'''. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
<li> Due triangoli <math>ABC </math> e <math> DEF </math> tali che:
*<math> {AB \over DE} = {BC \over EF}</math>
*gli angoli in <math> B </math> e in <math> E </math> sono uguali,
sono simili.
*'''Corollario'''. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
<li> Due triangoli <math>ABC </math> e <math> DEF </math> tali che:
:<math> \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} </math>
sono simili.
</ol>
=== Poligoni simili ===
Esistono criteri analoghi per due [[poligono|poligoni]] arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.
</div>
In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere
*due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
*due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
*tre angoli consecutivi.
Se il poligono non è un triangolo, ''non'' è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due [[rettangolo|rettangoli]] hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.
== Numeri complessi e figure auto-similari ==
=== Numeri complessi ===
{{vedi anche|Rotazione nel piano complesso}}
[[Immagine:Sierpinski triangle (blue).jpg|thumb|upright=1.4|Il [[triangolo di Sierpinski]] è un [[frattale]].]]
Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei [[numeri complessi]]. È sufficiente descrivere il piano come [[piano complesso]]: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una [[trasformazione lineare]] del tipo
:<math> z\mapsto az+b </math>
oppure
:<math> z\mapsto a\bar z+b </math>
dove <math>a </math> e <math> b </math> sono due numeri complessi, e <math>\bar z </math> è il [[complesso coniugato]] di <math> z\,\! </math>.
=== Frattali ===
{{vedi anche|Frattale}}
Un [[frattale]] è un oggetto geometrico ''autosimilare'': ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.
== Altri progetti ==
{{interprogetto|etichetta=similitudine|wikt=similitudine}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Trasformazioni geometriche]]
| |||