Relazione di equivalenza: differenze tra le versioni

 

== Esempi ==

 

* Se <math>X</math> è l'insieme di tutte le automobili e <math>\sim</math> è la relazione di equivalenza "ha lo stesso colore di", allora una classe di equivalenza sarà quella delle automobili verdi. <math>X / \sim</math> potrebbe essere identificata intuitivamente con l'insieme dei colori delle automobili

* I [[numeri razionali]] possono essere costruiti come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi <math>(a,b)</math>, con <math>b</math> diverso da zero, dove la relazione di equivalenza è definita come:

*: <math>(a,b) \sim (c,d)</math> se e solo se <math>ad=bc</math>.

* Qualunque [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f : X \to Y</math> definisce una relazione di equivalenza su <math>X</math> secondo cui <math>a \sim b</math> (con <math>a,b \in X</math>) se e solo se <math>f(a) = f(b)</math>. La classe di equivalenza di <math>a</math> è quindi la [[controimmagine]] di <math>f(a)</math>.

* Dato un [[gruppo (matematica)|gruppo]] <math>G</math> ed un [[sottogruppo]] <math>H</math>, è possibile definire una relazione di equivalenza su <math>G</math> come <math>x \sim y</math> se e solo se <math>xy^{-1} \in H</math>. Le classi di equivalenza prendono il nome di [[Classe laterale|laterali]] destri di <math>H</math> in <math>G</math>. Se <math>H</math> è un [[sottogruppo normale]], allora l'insieme di tutti i laterali è esso stesso un gruppo, detto [[gruppo quoziente]]

 

== Relazioni di equivalenza e partizioni ==

 

# per ogni elemento <math>x \in X</math>, <math>x \sim b \rightarrow x \sim a</math> (per la simmetria e transitività)

cioè, ogni elemento di <math>X</math> apparterrebbe ad <math>[a]</math> e viceversa ogni elemento di <math>[a]</math> apparterrebbe ad <math>X</math>: dunque <math>X = [a]</math>.

 

 

Viceversa, si mostra che ad ogni partizione dell'insieme <math>A</math> si associa una e una sola relazione di equivalenza, quella definita in maniera tale che due elementi stiano in tale relazione se e solo se appartengono allo stesso insieme della partizione. Detto in altri termini, data una partizione <math>S</math>, esiste ed è unica la relazione di equivalenza ~ tale che l'insieme quoziente <math>A/ \sim</math> sia uguale ad <math>S</math>.<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p. 31, Th. 8. Springer-Verlag</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3ª ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons</ref>: essa è definita in simboli da