Base (topologia): differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''base''' ''B'' per uno [[spazio topologico]] ''X'' con topologia ''T'' è una collezione di [[insieme aperto|aperti]] in ''T'' tali che ogni insieme aperto di ''T'' è unione
Diciamo che la base ''genera'' la topologia ''T''
L'utilità delle basi risiede proprio nel fatto che esse sono in grado di caratterizzare ''tutte'' le proprietà topologiche dello spazio, descrivendone in maniera completa la topologia.
== Proprietà delle basi ==
Una base
* Tra i suoi elementi vi è sempre l'insieme vuoto.
* Gli elementi della base ''[[ricoprimento|ricoprono]]'' ''X'' (cioè, la loro unione è ''X'').
(Essendo ''X'' aperto, deve essere ottenibile mediante unione di elementi della base. A maggior ragione coincide con l'unione di tutti gli elementi della base).
* Dati due elementi della base, la loro intersezione è ottenibile come unione di elementi della base.
(Infatti l'intersezione di due elementi della base deve essere aperta e quindi unione di elementi della base).
Quest'ultima proprietà può essere formulata in maniera equivalente:
* Siano ''B''<sub>1</sub> e ''B''<sub>2</sub> elementi della base e sia ''I'' la loro intersezione. Per ogni ''x'' in ''I'' c'è un altro elemento della base ''B''<sub>3</sub> contenente ''x'' e contenuto in ''I''.
== Esempi ==
Usando le basi si possono definire agevolmente molte topologie.
* Dato uno [[spazio metrico]] ''(X,d)'', la sua topologia è definita usando come base tutte le [[palla_(matematica)|palle]] aperte centrate nei vari punti e aventi raggio variabile.
* La stessa topologia per lo spazio metrico ''(X,d)'' si ottiene fissando un numero positivo ''k''>0 e prendendo solo le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio minore di ''k''.
* La stessa topologia per lo spazio metrico ''(X,d)'' si ottiene prendendo solo le palle aperte centrate nei punti di un [[insieme denso|sottoinsieme denso]] di ''X'' e aventi raggio [[numero razionale|razionale]] minore di ''k''.
* Per quanto appena detto, se uno spazio metrico ha un sottoinsieme denso [[numerabile]], allora ha una base numerabile.<ref>Uno spazio topologico che ammette un sottoinsieme denso e numerabile è detto [[
* Dato un insieme ''X'', se prendiamo come base tutti gli insiemi che constano di un punto solo otteniamo la [[topologia discreta]].
* Dato un insieme ''X'', se prendiamo come base soltanto l'insieme ''X'' otteniamo la [[topologia banale]].
* Possiamo definire sulla retta reale una topologia diversa da quella usuale prendendo come base l'insieme di tutte le semirette destre date da ''x>d'', dove ''d'' è un numero reale variabile. Lo spazio che ne risulta non è di [[spazio di Hausdorff|Hausdorff]].
==Note==
<references/>
{{Topologia}}
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