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Riga 1: ==Definizione== ===Spazi normali=== In [[matematica]], e più precisamente in [[topologia]], uno '''spazio normale''' è uno [[spazio topologico]] che soddisfa il seguente [[assioma di separazione]]: <div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left"> Line 4 ⟶ 6: </div> [[Immagine:Normal space.svg\|thumb\|right\|Ogni coppia di chiusi è contenuta in due aperti disgiunti.]] Uno '''spazio T4''' è uno spazio normale che è anche [[spazio T1\|T1]]. Questa condizione è necessaria affinché l'assioma T4 implichi gli assiomi di separazione precedenti [[spazio T0\|T0]], [[spazio T1\|T1]], [[spazio T2\|T2]] e [[spazio T3\|T3]].▼ ===Spazi T<sub>4</sub>=== Nelle pubblicazioni matematiche, le due definizioni sono spesso scambiate, a seconda del periodo storico o del gusto dell'autore.▼ ▲Uno ~~'''~~spazio ~~T4'''~~T<sub>4</sub> è uno spazio normale che è anche [[spazio T1\|T1T<sub>1</sub>]]. Questa condizione è necessaria affinché l'assioma T4T<sub>4</sub> implichi gli assiomi di separazione precedenti [[spazio T0\|T0T<sub>0</sub>]], [[spazio T1\|T1T<sub>1</sub>]], [[spazio T2\|T2T<sub>2</sub>]] e [[spazio T3\|T3T<sub>3</sub>]]. ▲Nelle pubblicazioni matematiche, la nomenclatura è spesso instabile e le due definizioni sono spesso scambiate, a seconda del periodo storico o del gusto dell'autore. ==Funzioni continue definite su spazi normali== L'importanza degli spazi normali risiede nella ricchezza delle funzioni continue che è possibile definirvi.<br/> Negli Spazi normali (non necessariamente T<sub>4</sub>), vale infatti l'importante proprietà enunciata dal '''[[Lemma di Urysohn]]''': <div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left"> Per ogni coppia di chiusi disgiunti (''E'',''F'') di ''X'', esiste una [[Funzione continua\|funzione]] reale continua che assuma valore nullo su ''E'' e valga 1 su ''F''. </div> ==Condizioni equivalenti== === Definizione equivalente === Un'altra condizione del tutto equivalente è la seguente, valida per tutti gli normali: <div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left"> ~~Un'altra condizione equivalente è la seguente, valida per tutti gli [[Spazio T1\|spazi T1]]:~~ dati un [[Insieme chiuso\|chiuso]] ''CE'' e un [[Insieme aperto\|aperto]] ''A'' che lo contiene, esiste sempre un aperto W''U'' contenente ''CE'' la cui [[~~chiusura~~Chiusura (topologia)\|chiusura]] è contenuta in ''A''.▼ </div> È sufficiente considerare l'insieme chiuso ''F'' come [[Complemento\|complementare]] di ''A'' ed applicare la definizione, ricordando i [[Teoremi di De Morgan]].<br/> Questa formulazione si mostra più maneggevole di quella canonica in alcune dimostrazioni, come ad esempio quella del ''Lemma di Urysohn''. === Spazio completamente normale === ~~Uno~~In analogia a quanto si fa con quelli ''regolari'' si può definire '''spazio completamente normale''' è uno spazio tale che: <div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left"> Per ogni coppia di chiusi disgiunti (''AE'',''BF''), esiste una funzione continua ''<math>f'': ~~da ''~~X~~'' nell'intervallo ''I''~~ =\rightarrow [0,1]</math>, che valga 0 su ''AE'' e 1 su ''BF''. </div> Il [[lemma di Urysohn]] mostra che tale proprietà, apparentemente più restrittiva, è invece perfettamente equivalente a quella di spazio normale. ==Spazi metrici== Se <math>X</math> è uno [[spazio metrico]], <math>A, B</math> due suoi sottoinsiemi, <math>x</math> un punto qualsiasi, definiamo <math>d(x, A)= \inf \{d(x, a): a \in A\}</math> Posto <math>g_A(x) = d(x, A)</math> è facile dimostrare, usando la disuguaglianza triangolare, che per ogni coppia di <math>x</math> e <math>y</math> in <math>X</math> si ha: <math>\|g_A(x) - g_A(y)\| \le d(x, y)</math> definendo così una funzione continua (anzi [[Funzione lipschitziana\|lipschitziana]]). Se <math>E</math>, <math>F</math> sono due insiemi chiusi disgiunti, definiamo: ~~=== Altra condizione ===~~ <math>f(x)=\frac{g_E(x)}{g_E(x)+g_F(x)}</math> ▲Un'altra condizione equivalente è la seguente, valida per tutti gli [[Spazio T1\|spazi T1]]: dati un [[Insieme chiuso\|chiuso]] ''C'' e un [[Insieme aperto\|aperto]] ''A'' che lo contiene, esiste sempre un aperto W contenente ''C'' la cui [[chiusura (topologia)]] è contenuta in ''A''. La funzione è ben definita perché i due termini al denominatore non si annullano mai contemporaneamente (ricordiamo che i due sottoinsiemi sono disgiunti). Per note proprietà delle funzioni reali essa è continua e assume il valore 0 su <math>E</math> e il valore 1 su <math>F</math>. Se ne deduce che ogni spazio metrico è '''completamente normale''' e quindi '''T<sub>4</sub>'''. == Voci correlate == [[Spazio T0\|Spazio T<sub>0</sub>]] [[Spazio T1\|Spazio T<sub>1</sub>]] [[Spazio di Hausdorff]] [[Spazio regolare]] [[Spazio completamente regolare]] [[Lemma di Urysohn]] *[[Assioma di separazione\|Assiomi di separazione]]

Spazio normale: differenze tra le versioni