Versione delle 14:37, 12 giu 2018 modifica .mau. (discussione \| contributi) Amministratori 22 584 modifiche no, si dice LA delta perché è una distribuzione (o per i fisici una funzione), Annullata la modifica 97812220 di 95.249.73.243 (discussione) Etichetta: Annulla ← Differenza precedente		Versione delle 21:39, 21 giu 2018 modifica annulla 79.51.140.115 (discussione) consultato libro di fisica, spiacente si dice "il delta". Invece "la delta" oltre che sgraziato non è corretto grammaticalmente. Continuiamo a farci del male Etichetta: Modifica visuale Differenza successiva →
Riga 1: {{Avvisounicode}} [[File:Dirac distribution PDF.png\|thumb\|upright=1.4\|Grafico ~~della~~del delta di Dirac]] In [[matematica]], la funzione '''delta di Dirac''', anche detta '''impulso di Dirac''', '''distribuzione di Dirac''' o '''funzione ''δ''''', è una [[Distribuzione (matematica)\|distribuzione]] la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della [[Distribuzione (matematica)\|teoria delle distribuzioni]]. Riga 9: == Definizione == === La definizione di Dirac === Prima ancora della definizione formale di Dirac, i matematici del passato avevano la necessità di definire una funzione di tipo ''impulsivo'', che rappresentasse cioè un fenomeno fisico di durata infinitesima. Inizialmente lail delta fu definita come una [[Funzione (matematica)\|funzione]] nulla per <math>t \ne 0</math>, con integrale pari a 1 integrando sull'intero asse delle ascisse, e anche come il limite di opportune [[successione (matematica)\|successioni]]. Formalmente lail delta di Dirac viene definita dalla seguente notazione: : <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \operatorname \phi (x) \,\operatorname d \!x = \operatorname \phi (0)</math> valida per ogni [[funzione continua]] in un intorno dello zero. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli [[anni 1920\|anni venti]] nelle sue ricerche sulla [[meccanica quantistica]]. Si noti che, pur utilizzando il simbolo dell'[[integrale]], l'operazione non è di integrazione, ma di applicazione di un [[funzionale]] (<math>\delta</math> appunto) ad una [[funzione test]] <math>\operatorname \phi</math>. LaIl delta di [[Paul Adrien Maurice Dirac\|Dirac]] è dunque la funzione generalizzata (definita con la simbologia di cui sopra) che trasforma la funzione test <math>\operatorname \phi (t)</math> nel numero <math>\operatorname \phi (0)</math>. Nonostante sia facilmente dimostrabile che non può esistere alcuna funzione con le proprietà ~~della~~del delta di Dirac, questa definizione si rivelò operativamente molto utile e fu presto adottata in molti ambiti della [[fisica]] e delle scienze applicate. Anche per Dirac era chiaro che lail delta non era una funzione nel senso usuale; la sua idea era che il valore ~~della~~delil delta nel punto 0 fosse un [[stima asintotica\|infinito]] di grado "abbastanza elevato" da permettere la proprietà definitoria. Una formalizzazione matematicamente corretta ~~della~~delil delta fu possibile solo molti anni dopo nell'ambito della [[teoria delle distribuzioni]]. In generale lail delta di Dirac può essere definita sia come [[distribuzione (matematica)\|distribuzione]], sia come [[misura (matematica)\|misura]]. === Lail delta come distribuzione === Lail delta di Dirac può essere definita come una [[distribuzione (matematica)\|distribuzione]], vale a dire un [[funzionale lineare]] [[Funzione continua\|continuo]] su un opportuno spazio di funzioni dette [[funzione di test\|funzioni di test]] o "di prova". Si consideri come spazio delle funzioni di prova lo [[spazio di Schwartz]], ovvero lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida <math>S(\mathbb R^n)</math> all'infinito e infinitamente derivabili, le cui derivate parziali sono ancora a decrescenza rapida. Lo spazio delle distribuzioni temperate è definito come lo [[spazio duale]] dello spazio di Schwartz. La distribuzione delta di Dirac associata alla funzione di prova <math>\operatorname\phi \in S(\mathbb R^n)</math> è definita come:<ref>{{Cita\|Reed, Simon\|pag. 135\|reed}}</ref><ref>{{Cita\|F. Farassat\|pag. 4\|nasa}}</ref> Riga 28: :<math>\delta_a[\operatorname\phi] = \operatorname\phi(a)</math> ovvero lail delta di una funzione in un punto <math>a</math> è un funzionale che associa alla funzione il suo valore nel punto. === Lail delta come misura === Uno dei modi per definire lail delta di Dirac è quello di considerarla una [[misura (matematica)\|misura]] che, per ogni sottinsieme <math>A</math> dei numeri reali, restituisce <math>\delta(A) = 1</math> se <math>0 \in A</math> e <math>\delta(A) = 0</math> altrimenti. L'[[integrale di Lebesgue]] permette di definire l'integrazione rispetto alla misura <math>\delta</math>: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \delta\{\operatorname dx\} = f(0)</math> per ogni funzione <math>f</math> continua a supporto compatto. Questa misura è singolare, e non è quindi [[Continuità assoluta\|assolutamente continua]] rispetto alla [[misura di Lebesgue]]. Di conseguenza, lail delta di Dirac non ha [[teorema di Radon-Nikodym\|derivata di Radon-Nikodym]], ovvero non esiste nessuna funzione <math>\delta</math> tale che: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\, \operatorname dx = f(0)</math> L'uso di quest'ultima notazione per lail delta è un [[abuso di notazione]], e lail delta non è una distribuzione regolare. Tuttavia la notazione integrale è largamente utilizzata, e nonostante <math>\delta(x - x_{0})</math> non sia una funzione si usa scrivere:<ref>{{Cita\|Reed, Simon\|pag. 136\|reed}}</ref> Riga 45: :<math>\langle \delta_{x_{0}}\|f \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_{0})f(x)\,\operatorname dx = f(x_{0})</math> Come misura di probabilità sui reali, lail delta di Dirac è caratterizzata dalla sua [[funzione di ripartizione]] che non è altro che la [[funzione gradino di Heaviside\|funzione di Heaviside]]: :<math>H(x) = Riga 62: :<math>\int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta\{\operatorname d\mathbf{x}\} = f(\mathbf{0})</math> per ogni funzione continua <math>f</math> a supporto compatto. Nel caso <math>n</math>-dimensionale lail delta è il prodotto delle singole delta in una dimensione, ovvero se <math>\mathbf{x} =(x_1, x_2,\dots, x_n)</math>, si ha: :<math>\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\delta(x_2)\dots\delta(x_n)</math> Tale scrittura vale anche nella definizione ~~della~~delil delta come distribuzione, ma tale prodotto può essere definito solamente sotto determinate e restrittive ipotesi. Il concetto di [[misura deltiforme]] ha invece senso su ogni insieme. Sia <math>X</math> un insieme, sia <math>x_0 \in X</math> e <math>\Sigma </math> una [[sigma algebra]] dei sottoinsiemi di <math>X</math>, allora la misura definita sugli insiemi <math>A \in \Sigma</math> dalla relazione: Riga 78: è la misura di Dirac in <math>x_0</math>. Un'altra generalizzazione molto diffusa riguarda infine le [[varietà differenziabile\|varietà differenziabili]], in cui molte delle proprietà ~~della~~delil delta come distribuzione possono essere sfruttate grazie alla struttura differenziabile. La funzione delta su una varietà <math>M</math> nel punto <math>x_0 \in M</math> è definita come la distribuzione: :<math>\delta_{x_0}[\operatorname\phi] = \operatorname\phi(x_0)</math> Riga 84: per ogni funzione <math>\operatorname \phi</math> reale, liscia e a supporto compatto su <math>M</math>. Un caso particolare molto utilizzato è il caso in cui <math>M</math> sia un insieme aperto di <math>\mathbb{R}^n</math>. == Proprietà e operazioni ~~della~~delil delta di Dirac == Nel seguito si espongono le proprietà principali ~~della~~delil delta. === Prodotto per uno scalare === Riga 93: === Traslazione === Dalla definizione di distribuzione si ha che lail delta di Dirac "tempo-ritardata" agisce come: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-T)\,\operatorname dt = f(T)</math> Ovvero la [[convoluzione]] di una funzione <math>f(t)</math> con lail delta tempo-ritardata significa valutare la funzione al tempo <math>T</math>, e da questo segue che: :<math>(f * \delta(t-T)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-T-\tau) \, \operatorname d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(\tau-(t-T)) \, \operatorname d\tau = f(t-T)</math> Riga 119: Il primo passaggio è lecito se si considerano separatamente <math>a > 0</math> e <math>a < 0</math>, e trovando che il risultato è definito a meno del segno <math>-</math>. Segue come caso particolare che, vista come una funzione, lail delta è [[funzioni pari e dispari\|pari]]: :<math>\operatorname \delta(t) = \operatorname \delta(-t)</math> Riga 167: L'unica funzione che soddisfa tale vincolo è il gradino. === Derivata distribuzionale ~~della~~delil delta === La derivata distribuzionale ~~della~~delil delta è la distribuzione <math>\delta'</math> definita a partire da una funzione di test <math>\operatorname\phi</math> liscia e a supporto compatto: :<math>\delta'[\operatorname\phi] = -\delta[\operatorname\phi']=-\operatorname\phi'(0)</math> Riga 181: </math> ed il termine valutato si annulla grazie alla definizione ~~della~~delil delta. La derivata <math>k</math>-esima è la distribuzione definita in modo analogo: Riga 187: :<math>\delta^{(k)}[\operatorname\phi] = (-1)^k \operatorname\phi^{(k)}(0)</math> La derivata prima ~~della~~delil delta è il limite del rapporto incrementale: :<math>\delta'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\delta(x+h)-\delta(x)}{h}</math> Riga 199: :<math>(\tau_h S)[\operatorname\phi] = S[\tau_{-h}\operatorname\phi]</math> La derivata ~~della~~delil delta soddisfa diverse proprietà, tra cui: :<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(-x) = -\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(x)</math> Riga 215: che segue direttamente dalle proprietà della derivata di una convoluzione nel senso delle distribuzioni. == Lail delta come limite di una successione == La funzione delta può essere considerata come il limite di alcune particolari successioni Riga 224: :<math> \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty}\eta_\varepsilon(x)f(x) \, \operatorname dx = f(0) \ </math> per tutte le [[funzioni continue]] <math>f</math> a supporto compatto. La successione <math>\eta_{\varepsilon}(x)</math> si dice allora successione di ''approssimanti'' ~~della~~delil delta. È da tener presente che si tratta di [[Distribuzione (matematica)#Convergenza e topologia debole\|convergenza debole]] nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario. È possibile dare un criterio generale per le approssimanti ~~della~~delil delta. Una successione di funzioni <math> {\operatorname \delta_n} </math> localmente integrabili reali converge debolmente ~~alla~~alil delta, se: * <math> \forall \epsilon > 0</math>, le successioni: Riga 240: :<math>\forall n \in \N</math>, dove <math>K</math> è un numero reale positivo indipendente da <math>n</math>. === Successioni che rappresentano lail delta di Dirac === Di seguito alcune tra le più note successioni che rappresentano lail delta di Dirac: * Limite di una [[distribuzione normale]] (per <math>n\rightarrow\infty</math>): Riga 295: </math> == Lail delta e la trasformata di Fourier == {{vedi anche\|Trasformata di Fourier}} === Rappresentazione di Fourier ~~della~~delil delta === Ogni funzione appartenente ad <math>L^1(\R)</math> può essere scritta come: Riga 315: :<math> \lim_{N \to {\pm \infty}} \delta_N(t) = 0 \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_N(t)\,\operatorname dt = 1</math> che sono le proprietà richieste ~~alla~~alil delta di Dirac. Inserendo tale rappresentazione nella precedente scrittura, e sapendo che il teorema di Fubini Tonelli permette di scambiare l'ordine di integrazione, si ottiene infatti: Riga 321: :<math>f(x) = \lim_{N \to \infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_N(x - y)f(y) \,\operatorname dy</math> Ovvero lail delta di Dirac è definita come il limite della successione: :<math>\delta (t) = \lim_{N \to \infty} \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} e^{ikt}\,\operatorname dk </math> e dunque la rappresentazione di Fourier ~~della~~delil delta è: :<math>\delta (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikt}\,\operatorname dk </math> === La trasformata ~~della~~delil delta === La rappresentazione di Fourier rende evidente che lail delta è l'antitrasformata della funzione costante <math>f(x) = 1</math>: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} 1 \cdot e^{i2\pi xk}\,\operatorname dk = \delta(x)</math> Riga 350: </math> La trasformata <math>\hat{\delta}</math> ~~della~~delil delta è definita come l'unica distribuzione temperata tale che: :<math>\langle\hat{\delta},\phi\rangle = \langle\delta,\hat{\phi}\rangle</math> Riga 356: per ogni funzione di Schwartz <math>\operatorname \phi</math>. Segue inoltre che lail delta fornisce la condizione di ortogonalizzazione delle autofunzioni degli operatori di derivazione e integrazione, che costituiscono il nucleo della [[trasformata integrale]] di Fourier su <math>\mathbb R</math>: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,\operatorname dt = \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,\operatorname dt = \delta(\xi_1 - \xi_2)</math> Tramite [[prolungamento analitico]] è anche possibile definire la [[trasformata di Laplace]] ~~della~~delil delta nel seguente modo: :<math> \int_{0}^{+\infty}\delta (t-a)e^{-st} \,\operatorname dt=e^{-sa}</math>

Delta di Dirac: differenze tra le versioni