Induttanza: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua|il componente elettronico|induttore}}
[[File:Basic Inductor with B-field.svg|thumb|Rappresentazione del campo magnetico indotto dall'induttore sottoposto a corrente elettrica]]
L''''induttanza''' è la proprietà dei [[circuito elettrico|circuiti elettrici]] tale per cui la [[corrente elettrica|corrente]] (intesa variabile nel tempo) che li attraversa induce una [[forza elettromotrice]] che, per la [[legge di Lenz]], è proporzionale alla variazione del [[flusso magnetico]] concatenato dal circuito. Il rapporto tra flusso magnetico concatenato dal circuito e la corrente che genera tale flusso è un parametro fisso, dipendente dalla geometria e disposizione dei circuiti, detto coefficiente di autoinduzione se riferito a flusso e corrente sullo stesso circuito, coefficiente di mutua induzione se riferito ad un flusso su un circuito generato da una corrente che circola in un altro circuito<ref>{{cita|Landau|§ 33|landau}}</ref>. La grandezza fisica associata è indicata con il simbolo ''L'' in onore del fisico [[Heinrich Lenz]].
Il termine fu utilizzato ufficialmente per la prima volta da [[Oliver Heaviside|Heaviside]] nel febbraio [[1886]].<ref>{{en}} Heavyside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. See [http://books.google.com/books?id=bywPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=elecrrical+papers+heavyside reprint]</ref> La grandezza fisica inversa è detta dissuadenza o inertanza, ed è indicata con il simbolo ''Λ''.{{senza fonte}}
==Definizione==
Una corrente elettrica ''i'' che scorre in un circuito elettrico produce un [[campo magnetico]] nello spazio circostante: se la corrente varia nel tempo, il [[flusso magnetico]] Φ<sub>B</sub> del campo concatenato al circuito risulta variabile, determinando entro il circuito una [[f.e.m.]] indotta che si oppone alla variazione del flusso. Il coefficiente di autoinduzione ''L'' del circuito è il rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato e la corrente, che nel caso semplice di una [[Solenoide|spira]] è dato da:
:<math>L= \frac{\Phi_\vec{B}}{i}</math>
L'unità di misura dell'induttanza è detta [[henry (unità di misura)|henry]]:<math>1\,H=1\,Wb\cdot\!A^{-1}</math>, in onore di [[Joseph Henry]].
In un induttore di 1 henry, quindi, una variazione di corrente di 1 [[ampere]] al secondo genera una forza elettromotrice di 1 [[volt]], che è pari al flusso di 1 [[weber]] al secondo.
Analogamente la dissuadenza di una semplice spira sarà pari a:
<math>\Lambda=\frac{i}{\Phi_{B}}</math>
e sarà misurata in <math>H^{-1}</math>.
== Proprietà dell'induttanza ==
[[File:Auf- und Entladung Spule.png|thumb|Grafico rappresentante i valori di corrente (linea rossa) e tensione (linea blu) ai capi dell'induttanza sottoposta al percorso di tensione elettrica (linea verde)]]
L'equazione che definisce l'induttanza può essere riscritta in questo modo:
:<math>\Phi_B= Li </math>
Derivando entrambi i membri rispetto al tempo:
:<math>\frac{d\Phi_B}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt} </math>
In molti casi fisici l'induttanza può essere considerata costante rispetto al tempo (o tempo-invariante), per cui:
:<math>\frac{d\Phi_B}{dt}=L\frac{di}{dt}</math>
Dalla [[legge di Faraday]], applicata alla circuitazione del circuito costituito dalla induttanza stessa, si ha:
:<math>-\frac{d\Phi_B}{dt}=\mathcal{E}=V </math>
dove <math>\mathcal{E}</math> è la [[forza elettromotrice]] (f.e.m.) e ''V'' è il potenziale indotto ai morsetti del circuito in questione.
Combinando le equazioni precedenti si ha:
:<math>-L\frac{di(t)}{dt}=\mathcal{E}=V(t)</math>
da cui si evince che l'induttanza ''L'' di un componente attraversato da corrente variabile si può definire operativamente come l'opposto del rapporto tra la f.e.m autoindotta e generata ai morsetti del componente e la derivata della corrente ''di(t)/dt'' che lo attraversa.
[[Legge di Lenz]]
:<math>\frac{d\Phi_B}{dt}=-\mathcal{E}=V</math>
L'origine del segno meno è una conseguenza della [[legge di Lenz]] che applicata a un induttore afferma in sostanza che la f.e.m autoindotta ai capi di un componente si oppone alla variazione di corrente che lo attraversa. Per questo motivo l'induttanza è definita positiva.
L'energia immagazzinata in un [[solenoide]] può essere espressa per mezzo della sua induttanza caratteristica ''L'' e della corrente ''i'' che scorre nelle sue spire.
La relazione è
:<math> W = \frac{1}{2}L i^2 </math>
dove ''W'' è l'energia immagazzinata.
La [[legge di Ohm]] esprime la relazione fra la tensione e una corrente stazionaria, mentre quella di [[Legge di Faraday|Faraday]] il legame fra tensione e una corrente elettrica variabile.
==Cenni sull'induttore==
{{vedi anche|Induttore}}
In termini circuitali, l'induttore è un [[componente passivo]] in cui l'aspetto induttivo prevale su quello [[Condensatore (elettrotecnica)|capacitivo]] e su quello [[resistenza elettrica|resistivo]]. Esso è generalmente costituito dall'avvolgimento di un filo conduttore intorno ad un nucleo di materiale magnetico (ferrite). La relazione costitutiva di un induttore di induttanza ''L'' è la stessa riportata sopra. Valori tipici di induttanza vanno dai nanohenry (''nH'') ai millihenry (''mH'').
Se un'impedenza di tipo puramente induttivo viene attraversata da una corrente sinusoidale del tipo:
:<math>i(t) = I_M \cos(\omega t + \phi_o)</math> ,
dove <math>I_M</math> è il valore di corrente massimo, <math>\omega</math> è la pulsazione angolare della sinusoide e <math>\phi_o</math>
è la fase della corrente, la tensione che comparirà sul ramo dell'impedenza sarà:
:<math>v(t)= L {di(t) \over dt} = - L\omega I_M \mathrm{\,sen}(\omega t + \phi_o) = L\omega I_M \cos(\omega t + \phi_o + {\pi \over 2}) </math>.
Nel ramo di un'impedenza completamente induttiva, quindi, le sinusoidi di tensione e corrente risultano sfasate di 90° e, in particolare, la tensione è in anticipo sulla corrente di 90°.
Nel dominio dei fasori le espressioni di corrente e tensione diventano:
:<math>\mathbf{I}= I_M e^{j (\omega t + \phi_o)}</math>
e
:<math> \mathbf{V} = \omega L I_M e^{j (\omega t + \phi_o)} e^{j\pi \over 2} = j \omega L I_M e^{j (\omega t + \phi_o)} </math> .
Dalla legge di Ohm delle impedenze:
:<math> \mathbf{Z}= {\mathbf{V} \over \mathbf{I}}</math>
si ha che l'impedenza di un induttore puro è:
:<math> \mathbf{Z} = j \omega L </math> ,
dove ''ω'' è la [[velocità angolare|pulsazione complessa]] espressa in [[radiante|radianti]] al [[secondo]] (pari alla frequenza in [[hertz]] moltiplicata per 2''π''), e ''j'' è l'[[unità immaginaria]].
Data la relazione costitutiva dell'induttore, la corrente in esso è una funzione continua, mentre la tensione non lo è necessariamente.
In condizioni statiche ([[corrente continua]]), l'induttore ideale è equivalente ad un [[corto circuito]].
Data la necessità di inserire un nucleo di ferrite per ottenere valori apprezzabili di induttanza, l'induttore è il componente meno facile da integrare, e quindi viene spesso simulato tramite opportuni componenti attivi (convertitore d'impedenza generalizzato o GIC). A frequenze molto elevate, dell'ordine di centinaia di megahertz, l'impedenza mostrata dall'induttore diventa accettabile anche in presenza di basse induttanze, ed è quindi possibile realizzare induttori senza nucleo (induttore ''in aria'').
== Circuito RL ==
[[File:Circuito RL.JPG|thumb|Circuito RL in evoluzione libera]]
[[File:Corrente RL libero.JPG|thumb|Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL in evoluzione libera]]
Si chiama ''circuito RL'' in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un [[induttore]] percorso da [[Corrente elettrica|corrente]]. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di [[tensione elettrica|tensione]] o di [[Corrente elettrica|corrente]].
Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente. Al tempo ''t''<sub>0</sub> = 0 la corrente ai capi di ''L'' è ''i''<sub>L(0)</sub> ≠ 0, questa viene presa come condizione iniziale.
Applicando la [[leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] per le intensità di corrente, l'equazione del circuito è:
:<math>i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{v(t)}{R} + i_L(t) = 0</math>
dove ''i(t)'' è la [[corrente elettrica]] circolante. Ricordando che la relazione caratteristica dell'induttore è:
:<math>v(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}</math>
la legge di Kirchhoff diventa un'[[equazione differenziale|equazione differenziale omogenea del primo ordine]]:
:<math>\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0 {.}</math>
Per la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione è:
:<math>i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>
e di conseguenza la tensione è
:<math>v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>
Al rapporto <math>\frac{L}{R} = \tau \, \mathrm{[s]}</math> viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.
Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza ''R'' secondo la soluzione appena trovata: la corrente tende esponenzialmente a zero per ''t'' → ∞. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:
:<math>i(\tau) = \frac{1}{e} {.}</math>
== Circuito RLC ==
{{vedi anche|Circuito RLC}}
In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo [[resistore|resistenze]] (R), [[induttore|induttori]] (L) e [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatori]] (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.
I circuiti RLC sono [[sistema dinamico|sistemi]] lineari, per lo più stazionari (ma non necessariamente). In particolare, ciò significa che un circuito RLC ''non può'' creare frequenze dal nulla: può eventualmente sopprimerle. Infatti, la nascita di nuove frequenze (distorsione) avviene soltanto negli elementi attivi a [[semiconduttore]] e negli elementi non lineari, come [[diodo|diodi]] e [[transistor]].
== Tecniche di calcolo ==
La procedura generale per il calcolo dell'induttanza è data dal calcolo del flusso in funzione della corrente. Il flusso del campo magnetico <math>\mathbf{B}</math> attraverso una superficie aperta <math>\Sigma</math> vale:
:<math>\Phi=\int_\Sigma\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}</math>
Per il [[teorema del rotore]], detta <math>\Lambda</math> la frontiera della superficie e <math>\mathbf{A}</math> il [[potenziale magnetico]], si ottiene:
:<math>\Phi=\oint_\Lambda \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}</math>
Ricordando che il potenziale magnetico dato da una corrente ''I'' che scorre in un circuito filiforme (ossia, di cui è trascurabile la sezione) <math>\Lambda'</math> vale<ref>{{cita|Landau|§ 33|landau}}</ref>
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{\Lambda'}\frac{I\,d\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}</math>
si ottiene la formula per il calcolo del coefficiente di mutua induzione tra il circuito <math>\Lambda</math> ed il circuito <math>\Lambda'</math>:
:<math>L=\frac{\Phi}{I}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{\Lambda}\oint_{\Lambda'}\frac{d\mathbf{r}'\cdot d\mathbf{r}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}</math>
Come si vede dalla formula precedente, i coefficienti di mutua induzione sono intrinsecamente simmetrici e dipendono solo dalla geometria dei circuiti. Per quanto riguarda i coefficienti di autoinduzione, l'integrale doppio di linea valido per la mutua induzione è divergente; in questo caso non è applicabile l'approssimazione di considerare il circuito filiforme e bisogna invece calcolare il potenziale magnetico tramite l'integrale della densità di corrente.<ref name="den12">{{Cita pubblicazione|titolo= Self inductance of a wire loop as a curve integral |rivista= Advanced Electromagnetics |anno= 2016 |nome= R. |cognome= Dengler |volume= 5 |numero= 1 |pp= 1–8 | bibcode= 2016AdEl....5....1D|doi= 10.7716/aem.v5i1.331}}</ref>
==Coefficiente di autoinduzione==
{| class="wikitable"
|+ Tabella di coefficiente di autoinduzione
! Tipo !! Autoinduzione !! Commento
|-
! Bobina a<br />uno strato<ref>{{cita pubblicazione|cognome=Lorenz |nome=L. |titolo=Über die Fortpflanzung der Elektrizität |rivista=Annalen der Physik |volume=VII |pp=161?193. (The expression given is the inductance of a cylinder with a current around its surface). |anno=1879|doi=10.1002/andp.18792430602|bibcode = 1879AnP...243..161L }}</ref>
| <math> Q\frac{\mu_0r^{2}N^{2}}{3l}\left[ -8w + 4\frac{\sqrt{1+m}}{m}\left( K\left( \sqrt{\frac{m}{1+m}} \right)
-\left( 1-m\right) E\left( \sqrt{ \frac{m}{1+m}} \right) \right)
\right]
</math>
<math>=\frac{\mu_0r^2N^2\pi}{l}\left[ 1-\frac{8w}{3\pi }+\sum_{n=1}^{\infty }
\frac {\left( 2n\right)!^2} {n!^4 \left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}
\left( -1\right) ^{n+1}w^{2n}\right]</math><br />
<math>
=\frac {\mu_0r^2N^2\pi}{l}\left( 1 - \frac{8w}{3\pi} + \frac{w^2}{2} - \frac{w^4}{4} + \frac{5w^6}{16} - \frac{35w^8}{64} + ... \right)
</math> per w << 1<br />
<math>= \mu_0rN^2 \left[ \left( 1 + \frac{1}{32w^2} + O\left(\frac{1}{w^4}\right) \right) \ln(8w) - 1/2 + \frac{1}{128w^2} + O\left(\frac{1}{w^4}\right) \right] </math> per w >> 1
| ''N'': Numero di spire<br />''r'': Raggio<br />''l'': Lunghezza<br />''w = r/l''<br />''m = 4w<sup>2</sup>''<br />''E,K'': [[Integrale ellittico|Integrale ellittici]]
|-
! Cavo coassiale,<br />frequenza alta
| <math> \frac {\mu_0 l}{2\pi} \ln\left(\frac {a_1}{a}\right) </math>
| a<sub>1</sub>: Raggio esterno<br />a: Raggio interno<br />''l'': Lunghezza
|-
! Spira circolare<ref>{{cita libro|cognome= Elliott |nome=R. S. |titolo=Electromagnetics |editore=IEEE Press |anno=1993 |città=New York}} Note: The constant -3/2 in the result for a uniform current distribution is wrong.</ref>
| <math>\mu_0r \cdot \left( \ln\left(\frac {8 r}{a}\right) - 2 + \frac{Y}{2} +O\left(a^2/r^2\right)\right) </math>
| r: Raggio della spira<br />a: Raggio del filo
|-
! Rettangolo<ref>{{cita pubblicazione|titolo=The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors |rivista=Bulletin of the Bureau of Standards |anno=1908 |nome=E.B. |cognome= Rosa | volume = 4 |numero=2 |pp=301?344| doi=10.6028/bulletin.088}}</ref>
| <math>\frac {\mu_0}{\pi}\left(b\ln\left(\frac {2 b}{a}\right) + d\ln\left(\frac {2d}{a}\right) - \left(b+d\right)\left(2-\frac{Y}{2}\right)+2\sqrt{b^2+d^2}\right)</math>
<math>\;\; -\frac {\mu_0}{\pi}\left(b\cdot\operatorname{arsinh}\left(\frac {b}{d}\right)+d\cdot\operatorname{arsinh}\left(\frac {d}{b}\right) + O\left(a\right)\right)</math>
|b, d: Lunghezza di bordo<br />d >> a, b >> a<br />a: Raggio del filo
|-
! Coppia di fili<br />paralleli
| <math> \frac {\mu_0 l}{\pi} \left( \ln\left(\frac {d}{a}\right) + \frac {Y} {2} \right) </math>
| a: Raggio del filo<br />d: Distanza, d = 2a<br />''l'': Lunghezza di coppia
|-
! Coppia di fili<br />paralleli, frequenza<br />alta
| <math> \frac{\mu_0 l}{\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) = \frac{\mu_0 l}{\pi }\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right)</math>
| a: Raggio del filo<br />d: Distanza, d = 2a<br />''l'': Lunghezza di coppia
|-
! Filo di fronte a<br />un muro perfettamente<br />conduttore
| <math> \frac {\mu_0 l}{2\pi} \left( \ln\left(\frac {2d}{a}\right) + \frac {Y} {2} \right)</math>
| a: Raggio del filo<br />d: Distanza, d = a<br />''l'': Lunghezza
|-
! Filo di fronte a<br />un muro<br />conduttore,<br />frequenza alta
| <math> \frac{\mu_0 l}{2\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right)=\frac{\mu_0 l}{2\pi }\ln \left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right)</math>
| a: Raggio del filo<br />d: Distanza, d = a<br />''l'': Lunghezza
|}
Il simbolo μ<sub>0</sub> è la [[Permeabilità magnetica|permeabilità magnetica del vuoto ]] (4π×10<sup>-7</sup> H/m). In caso di alte frequenze della corrente essa scorre sulla superficie del conduttore ([[effetto pelle]]) e Y = 0.
Per frequenze basse Y = 1/4.
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{Cita libro | autore=Frederick W. Grover|titolo=Inductance Calculations| editore=Dover Publications, New York|anno=1952}}
*{{Cita libro | autore=Griffiths, David J.|titolo=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| editore=Prentice Hall |anno=1998 |isbn=0-13-805326-X}}
*{{Cita libro | nome=Roald K. | cognome=Wangsness | anno=1986 | titolo=Electromagnetic Fields | edizione=2nd ed. | editore=Wiley | isbn=0-471-81186-6 }}
*{{Cita libro | autore=Hughes, Edward.|titolo=Electrical & Electronic Technology (8th ed.)| editore=Prentice Hall |anno=2002 |isbn=0-582-40519-X}}
* Karl Küpfmüller, ''Einführung in die theoretische Elektrotechnik,'' Springer-Verlag, 1959.
* Heaviside O., ''Electrical Papers.'' Vol.1. – L.; N.Y.: Macmillan, 1892, p. 429-560.
*{{cita libro | autore1=Lev D. Landau | autore2=Evgenij M. Lifsits | titolo=Fisica teorica VIII - Elettrodinamica dei mezzi continui | editore=Editori Riuniti University Press | anno=2011 | isbn=978-88-6473-220-6 | cid=landau}}
==Voci correlate==
* [[Autoinduzione]]
* [[Forza elettromotrice]]
* [[Induzione elettromagnetica]]
* [[Mutua induzione]]
* [[Circuito RL]]
* [[Circuito RLC]]
* [[Induttanza cinetica]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|etichetta=induttanza|wikt|commons=Category:Inductors}}
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