Teorema delle tangenti e delle secanti

Il Teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.

EnunciatoModifica

Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.[1]

Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.[2][3]

“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”

IpotesiModifica

  • Sia A un punto esterno alla circonferenza BDE.
  • Sia AB tangente alla circonferenza.
  • Sia AD secante alla circonferenza in D ed E.

Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:

 

TesiModifica

AB è medio proporzionale tra AD e AE; vale a dire AD : AB = AB : AE

DimostrazioneModifica

Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli ABD e ABE sono simili.

Infatti hanno l'angolo in A in comune e l'angolo ABE congruente all'angolo ADB, perché angoli che insistono sullo stesso arco EB.

Ne consegue AD : AB = AB : AE (c.v.d.)

CorollarioModifica

Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:

 

con AB perpendicolare a BB', C centro della circonferenza, AB = BB' = ED, si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della Sezione aurea con riga e compasso.

NoteModifica

Collegamenti esterniModifica

  • (EN) Terzo libro degli elementi, su proofwiki.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2014).