Teorema di corrispondenza

In algebra, in particolare in teoria dei gruppi e degli anelli, il teorema di corrispondenza mette in relazione i sottogruppi di un gruppo, quozientato ad un sottogruppo normale, ai sottogruppi che contengono sottogruppo normale stesso.

Il teorema dice infatti che i sottogruppi di $G$ che contengono $N$ (dove $N$ è un sottogruppo normale in $G$) sono in biezione canonica con i sottogruppi del gruppo quoziente $G/N$.

Il teorema

Sia $G$ un gruppo e $N\trianglelefteq G$ un suo sottogruppo normale. Allora la funzione $\pi :G\rightarrow G/N$ proiezione canonica (definita da $\pi (g)=gN$, $\forall g\in g$) induce una biezione tra $h(G,N)=\{H\leq G|N\leq H\leq G\}$ e $s(G/N)=\{NH\leq G/N\}$. Questa biezione è data da $\pi (H)=NH/N.$ Inoltre tale biezione manda sottogruppi normali di $G$ in sottogruppi normali di $G/N$ e viceversa.

Dimostrazione

$\pi$ è certamente un omomorfismo di gruppi. Posso definire $\psi :s(G)\rightarrow s(G/N)$ definita da $\psi (H)=\pi (H)$. Ho $\psi (H)=\{Nh|h\in H\}=NH/N$ è sottogruppo di $G/N$. Inoltre si verifica facilmente che se $N\leq H$ allora $NH=H$ da cui $\psi (H)=H/N$. Per suriettività di $\pi$ necessariamente $\psi \circ \psi ^{-1}=id_{s(G/N)}$. Calcolo $\psi ^{-1}\circ \psi |_{h(G,N)}(H)=\psi ^{-1}(H/N)=\{g\in G|Ng=Nh,\exists h\in H\}=\{g\in G|g\in NH=H\}=H$. Questo dimostra che $\psi |_{h(G,N)}$ cioè la restrizione di $\psi$ a $h(G,N)$ è biezione, da cui la tesi. Si può verificare direttamente che tale funzione preserva la normalità dei sottogruppi.

Esempi

• Sia $(\mathbb {Z} ,+)$ il gruppo additivo degli interi. I sottogruppi del gruppo quoziente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ sono in biezione con i sottogruppi di $\mathbb {Z}$ che contengono $n\mathbb {Z}$, cioè tutti gli $m\mathbb {Z}$ con $m$ che divide $n$. Quindi i sottogruppi di $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ sono tutti e i soli $m\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ con $m$ che divide $n$.

Anelli

È facile vedere che il teorema si può facilmente estendere agli anelli:

Sia $I\trianglelefteq R$ un ideale allora la proiezione canonica induce una biezione tra gli ideali di $R$ che contengono $I$ e gli ideali di $R/I$.