Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica y'=f(x,y), dove la y è lineare. Vediamo alcuni casi semplici, via via più complessi, che ci porteranno alla soluzione generale.
In questo caso la soluzione si trova immediatamente tramite integrazione, infatti
y=F(x)+c ,dove F(x) è una primitiva di f(x).
La soluzione generale di questo caso è ovvia, ossia
y
=
c
e
K
x
{\displaystyle y=ce^{Kx}}
Se invece di una costante K consideriamo una funzione f(x), e dunque l'equazione
y
′
=
f
(
x
)
y
{\displaystyle y'=f(x)y}
poichè
(
e
F
(
x
)
)
′
=
f
(
x
)
e
F
(
x
)
{\displaystyle \left(e^{F(x)}\right)'=f(x)e^{F(x)}}
dove f è la derivata di F, allora la soluzione dell'equazione è
y
=
c
e
∫
f
{\displaystyle y=ce^{\int f}}
Esempio
Consideriamo
y
′
=
log
(
x
)
y
{\displaystyle y'=\operatorname {log} (x)y}
poichè
∫
log
(
x
)
d
x
=
x
log
(
x
)
−
x
{\displaystyle \int \operatorname {log} (x)dx=x\operatorname {log} (x)-x}
la soluzione risulta essere
y
=
c
e
x
log
(
x
)
−
x
{\displaystyle y=ce^{x\operatorname {log} (x)-x}}
cioè
y
=
c
(
e
log
(
x
)
)
x
e
x
{\displaystyle y=c{\frac {\left(e^{\operatorname {log} (x)}\right)^{x}}{e^{x}}}}
semplificando otteniamo
y
=
c
x
x
e
x
=
c
x
x
e
−
x
{\displaystyle y=c{\frac {x^{x}}{e^{x}}}=cx^{x}e^{-x}}
In questo caso cercheremo delle funzioni del tipo
y
=
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle y=u(x)v(x)}
visto che la loro derivata ha la forma
y
′
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
Per risolvere il caso generale, chiamiamo v(x) la soluzione del caso precedente,
y
′
=
A
y
{\displaystyle y'=Ay}
v
=
c
e
A
x
{\displaystyle v=ce^{Ax}}
y
=
u
(
c
e
A
x
)
{\displaystyle y=u(ce^{Ax})}
Derivando si ha
y
′
=
u
′
(
c
e
A
x
)
+
A
c
e
A
x
u
{\displaystyle y'=u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u}
Sostituendo allora y e y' nell'equazione originaria otteniamo
u
′
(
c
e
A
x
)
+
A
c
e
A
x
u
=
A
u
(
c
e
A
x
)
+
f
(
x
)
{\displaystyle u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u=Au(ce^{Ax})+f(x)}
Semplificando si ha
u
′
=
f
(
x
)
c
e
−
A
x
{\displaystyle u'=f(x)ce^{-Ax}}
che è il caso più semplice: integrando direttamente si ottiene infatti
u
=
c
∫
f
(
x
)
e
−
A
x
{\displaystyle u=c\int f(x)e^{-Ax}}
La soluzione generale è dunque
y
=
e
A
x
(
∫
f
(
x
)
e
−
A
x
+
c
)
{\displaystyle y=e^{Ax}\left(\int f(x)e^{-Ax}+c\right)}
Esempio
Supponiamo di avere la seguente equazione differenziale
a
y
′
=
x
−
y
{\displaystyle ay'=x-y}
Portandola in forma canonica otteniamo
y
′
=
x
a
−
1
a
y
{\displaystyle y'={\frac {x}{a}}-{\frac {1}{a}}y}
la v è dunque
v
=
c
e
−
x
a
{\displaystyle v=ce^{-{\frac {x}{a}}}}
per la u otteniamo facilmente
u
=
c
1
a
∫
x
e
x
a
{\displaystyle u={\frac {c_{1}}{a}}\int xe^{\frac {x}{a}}}
integrando per parti si ottiene
u
=
c
1
[
e
x
a
(
x
−
a
)
+
c
2
a
]
{\displaystyle u=c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}
e dunque
y
=
c
e
−
x
a
c
1
[
e
x
a
(
x
−
a
)
+
c
2
a
]
{\displaystyle y=ce^{-{\frac {x}{a}}}c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}
semplificando si arriva a
y
=
x
−
a
+
c
2
a
e
−
x
a
{\displaystyle y=x-a+{\frac {c_{2}}{a}}e^{-{\frac {x}{a}}}}
Se invece di una costante A, avessimo avuto nel caso precedente una funzione g(x), ossia
y
′
=
g
y
+
f
{\displaystyle y'=gy+f}
ripercorrendo la stessa dimostrazione, otteniamo
y
=
e
∫
g
(
∫
f
e
−
∫
g
+
c
)
{\displaystyle y=e^{\int g}\left(\int fe^{-\int g}+c\right)}
Questa è la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
![{\displaystyle u=c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67477f831fdbd22eb7bf676fa9d6f05ed426fe09)
![{\displaystyle y=ce^{-{\frac {x}{a}}}c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9102d61997f821e496b949df13a2e4ff4cabb95f)
