Utente:Andreaguadagni/Sandbox

Dimostrazione della proprietà riflettente della parabola

Proprietà riflettente della parabola

La luce che entra in una parabola, viaggiando parallelamente all'asse di simmetria, viene riflessa verso il fuoco. L'angolo che il raggio di luce incidente forma con la tangente alla parabola è uguale all'angolo del raggio di luce riflesso (Vedi: Le leggi della riflessione). Questa constatazione fisica può essere dimostrata anche con la geometria e la matematica. Poiché tutte le parabole sono simili, consideriamo la parabola con la semplice equazione $y=x^{2}$.

Costruzione

Il punto P è un punto arbitrario sulla parabola e ha coordinate $(x_{P},x_{P}^{2})$. Il fuoco è F, il vertice è V (l'origine), e la linea FV (sull'asse $y$) è anche asse di simmetria. La linea PA è parallela all'asse di simmetria, e interseca l'asse $x$ nel punto B. Il punto A è sulla direttrice della parabola. Il punto M è a metà del segmento FA per l'uguaglianza del triangolo △FVM col triangolo △ABM. Per la proprietà fondamentale della parabola PF = PA, dunque il triangolo △FPA è isoscele e la linea PM è bisettrice dell'angolo ∠FPA.

Dimostrazione

Si deve dimostrare che 1) l'angolo $\alpha '$ che il raggio di luce incidente forma con la tangente alla parabola è uguale a quello del raggio di luce riflessa $\alpha$ e che 2) la linea PM è tangente alla parabola.

1) L'angolo ∠FPA viene diviso dalla bisettrice PM in due angoli uguali di ampiezza $\alpha$. L'angolo $\alpha '$ è dunque uguale ad $\alpha$ perché opposto al vertice.

2) Si può dimostrare in tre modi diversi che linea PM è tangente alla parabola: a) col calcolo della derivata, b) con l'intersezione fra la parabola e la linea, c) con una dimostrazione geometrica.

a) La derivata di $y=x^{2}$ è $y'=2x$ e rappresenta la pendenza della tangente. La pendenza di PM è data dal rapporto PB/MB, cioè $x_{P}^{2}/(x_{P}/2)$, che vale $2x_{P}$ pari cioè alla derivata di $y$ nel punto P. Dunque PM è tangente alla parabola in P.

File:Tangente alla parabola.jpg

Tangente alla parabola

b) Si cercano le intersezioni fra la parabola e la linea PM. Se sono coincidenti, allora la linea è tangente. Le intersezioni si trovano risolvendo il sistema delle due equazioni: $y=x^{2}$ per la parabola e $(y-y_{P})=2x_{p}(x-x_{P})$ per la linea PM. La seconda equazione diventa: $y=(2x_{P})x-2x_{P}^{2}+y_{P}$. Poiché $y_{P}=x_{P}^{2}$, la seconda equazione diventa: $y=(2x_{P})x-x_{P}^{2}$. Uguagliando i secondi membri delle equazioni, si ottiene: $x^{2}-(2x_{P})x+x_{P}^{2}=0$ il cui discriminante vale: $\Delta =4x_{P}^{2}-4x_{P}^{2}=0$ Dunque le intersezioni sono coincidenti e la linea PM è tangente.

c) Q è un generico punto della parabola che sovrasta P. Si vede, osservando la figura, che QF = QU < QA. Dunque il triangolo △FQT non è isoscele e Q sta a sinistra della linea PM. Questa è perciò tangente in P.