Utente:Badpazzword/Equazioni di secondo grado

In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica è un'equazione algebrica ad una sola incognita $x$ che compare con grado pari a 2 e la cui formula è riconducibile alla forma:

La funzione quadratica f(x)=x²-x-2. Le ascisse dei punti dove il grafico tocca l'asse x sono le radici dell'equazione quadratica.

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

Il grafico della funzione f(x) = ax² + bx + c nel piano cartesiano è una parabola.

La concavità di suddetta parabola dipende dal segno di a. Più precisamente:

• se a>0 la parabola avrà la concavità rivolta verso l'alto
• se a<0 la parabola avrà la concavità rivolta verso il basso.

Equazioni quadratiche incomplete

Equazione spuria

Definizione. Si dice spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

ax² + bx = 0

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione: x(ax + b) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:

x₁ = 0 ∧ ax₂ + b = 0

E in definitiva le sue soluzioni sono:

x₁ = 0 ∧ x₂ = -ba^-1

Equazione pura

Definizione. Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma:

ax² + c = 0

Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene:

x² = - c/a

Se ac < 0, l'equazione non ammette soluzioni nel campo reale: x₁, x₂ not in R. Non esistono infatti numeri reali che sono radici di un numero negativo (per esempio √-4).

Se ac > 0, l'equazione è risolta da:

x_1,2 = ±√(c/a)

Equazioni complete

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino ad ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma (a + b)² = a² + 2ab + b².

Con semplici e laboriosi passaggi possiamo riscrivere come:

x_1,2 = -b/2a * ±√(b²-4ac)

Quest'ultima è nota come formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

È chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante Delta=b² - 4ac. Si distinguono tre casi:

$x_{1,2}={\begin{cases}{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}&b^{2}-4ac>0\\-{\frac {b}{2a}}&b^{2}-4ac=0\\-{\frac {b}{2a}}\pm i\left({\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)&b^{2}-4ac<0\end{cases}}$

(reminder: c'era una formula qui! ;))