Utente:Brizzone/Sandbox

Introduzione

La valutazione dell'analisi non-standard nella letteratura è stata notevolmente varia. Paul Halmos l'ha descritta come uno sviluppo tecnico speciale in logica matematica. Il vincitore della medaglia Fields Terence Tao ha riassunto il vantaggio dell'approccio iperreale notando che

permette di manipolare rigorosamente cose come "l'insieme di tutti i piccoli numeri", o di dire in modo rigoroso cose come “η₁ è più piccolo di qualunque cosa che utilizzi η₀”, consentendo nello stesso tempo di ridurre notevolmente i problemi di gestione degli epsilon, nascondendo automaticamente molti dei quantificatori nelle argomentazioni.|sign=Terence Tao|source="Structure and randomness", American Mathematical Society (2008)}}

La natura delle critiche non è direttamente correlata allo status logico dei risultati dimostrati mediante l'analisi non-standard. In termini dei fondamenti convenzionali della matematica in logica classica, tali risultati sono del tutto accettabili. L'analisi non-standard di Abraham Robinson non ha bisogno di altri assiomi oltre alla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC) (come mostrato in modo esplicito da Wilhelmus Lussemburgo mediante la costruzione per ultrapotenze degli iperreali), mentre la sua variante dovuta a Edward Nelson, nota come TSI, è allo stesso modo una estensione conservativa della ZFC <ref>. Questo è mostrato in un articolo di Edward Nelson per AMS del 1977, in un'appendice scritta da William Powell. </ ref> Esso fornisce una garanzia che la novità dell'analisi non-standard è tutta nella strategia della dimostrazione, non nell'ampiezza dei risultati. Inoltre, l'aspetto modellistico-teoretico dell'analisi non-standard, per esempio basato sulle superstrutture, che ora è un approccio comunemente utilizzato, non ha bisogno di nuovi assiomi di teoria degli insiemi al di là di quelli di ZFC.