Utente:Edoix/Sandbox

nel 1879 il matematico belga Eugene Catalan propose la seguente generalizzazione:

$F_{n-r}F_{n+r}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}F_{r}^{2}$

che, ponendo $r=1$ , diventa

$F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}F_{1}^{2}=(-1)^{n-1}$

che moltiplicata per $-1$ dà

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}-=(-1)^{n}$

cioè l'identità di Cassini.

Più recentemente nel 1989 Steven Vajda pubblicò questa ulteriore generalizzazione:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$

Ovviamente anche da questa identità si ricavano come casi particolari le altre due:

Vogliamo dimostrare che

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$

Nel corso della presente dimostrazione poniamo

${\begin{aligned}\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}$

Per la prima espressione a primo membro, applicando la Formula di Binet ovvero

$F_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

si ha

{\begin{aligned}5F_{n+i}F_{n+j}=(\Phi ^{n+i}-\varphi ^{n+i})(\Phi ^{n+j}-\varphi ^{n+j})=\\=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})=\\=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}\end{aligned}}

Per quanto riguarda la seconda espressione a primo membro abbiamo

{\begin{aligned}5F_{n}F_{n+i+j}=(\Phi ^{n}-\varphi ^{n})(\Phi ^{n+i+j}-\varphi ^{n+i+j})=\\=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})=\\=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})(-1)^{n}\end{aligned}}

Sottraendo la seconda espressione dalla prima si ottiene

{\begin{aligned}5(F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j})=(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j}-\Phi ^{j}\varphi ^{i}-\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}=\\=\Phi ^{i}(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})-\varphi ^{j}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})=(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})=5F_{i}F_{j}\end{aligned}}

e infine, dividendo per $5$

F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=F_{i}F_{j}