Utente:Laugambacorta/Draft

Biografia_Bolzano

                                  Bernard  Bolzano

                        5 ottobre 1781-18 dicembre 1848

Bernard Placidus Johann NepomukBolzano fu un filosofo, matematico e teologo Ceco che diede significativi contributi sia alla Matematica che alla Teoria della conoscenza. Nel 1796 Bolzano si inscrisse alla Facoltà di Filosofia dell’Università di Praga. Durante i suoi studi scrisse: La mia speciale predilezione per la Matematica si fonda in modo particolare sui suoi aspetti speculativi, in altre parole apprezzo molto quella parte della Matematica che è stata allo stesso tempo Filosofia. Nell’Autunno del 1800 iniziò a studiare Teologia. In questo fu impegnato per i successivi 3 anni, durante i quali preparò anche la sua tesi di dottorato in Geometria. Conseguì il dottorato nel 1804, dopo aver scritto una tesi in cui esprimeva il suo giudizio sulla Matematica e sulle caratteristiche di una corretta dimostrazione matematica. Nella prefazione egli scrisse: Non potrei essere soddisfatto di una dimostrazione strettamente rigorosa, se questa non derivasse dai concetti contenuti nella tesi che deve essere dimostrata.Due anni dopo aver conseguito il dottorato Bolzano fu consacrato prete Romano Cattolico. La sua vera vocazione era, comunque, l’insegnamento. Nel 1804 gli venne assegnata la cattedra di Filosofia e Religione all’Università di Praga. A causa dei suoi ideali pacifisti e del suo interesse per la giustizia politica, Bolzano fu sospeso dal suo incarico nel 1819 dopo pressioni del governo Austriaco. Non si era arreso senza manifestare il suo disaccordo, ma quando fu sospeso con l’accusa di eresia fu posto agli arresti domiciliari e gli fu proibito di pubblicare. Nonostante la censura del governo, i suoi libri furono pubblicati fuori dall’Austria , così continuò a scrivere e a rivestire un ruolo importante nella vita intellettuale del suo Paese. Bolzano scrisse Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung (1810), la prima di una serie programmata sui fondamenti della Matematica. Della seconda serie fanno parte Der binomische Lehrsatzl ... (1816) e Rein analytischer Beweis... (Pura dimostrazione matematica) (1817), che contengono un tentativo di calcolo libero dal concetto di infinitesimale. Nella prefazione del primo dei due egli dichiara che il suo lavoro è un esempio di un nuovo modo di sviluppare l’analisi. Sebbene Bolzano riuscì a dimostrare esattamente quanto dichiarato, le sue teorie vennero comprese solo dopo la sua morte. Nel lavoro del 1817 Bolzano intendeva liberarsi dai concetti di limite, convergenza e derivata di componenti geometriche, sostituendoli con concetti puramente aritmetici. Egli era consapevole di un problema più profondo: raffinare e arricchire il concetto di numero stesso. In questo lavoro viene fornita la dimostrazione del teorema del valore medio con il nuovo approccio di Bolzano, e viene definita quella che adesso è chiamata serie di Cauchy. Il concetto appare in un lavoro di Cauchy quattro anni dopo, ma è improbabile che questi avesse letto il lavoro di Bolzano. Dopo il 1817 Bolzano non pubblicò più lavori sulla matematica per molti anni. Nel 1837, invece, pubblicò Wissenschaftslehre, un tentativo di una teoria completa di scienza e conoscenza. Tra il 1830 e il 1840, Bolzano lavorò su un’opera maggiore Grössenlehre. Con questo lavoro intendeva rileggere tutta la matematica sulle basi della Logica, lo pubblico solo in parte sperando che i suoi allievi lo terminassero e pubblicassero la versione completa. Tre anni dopo la sua morte (1851), venne pubblicato da un allievo il suo lavoro sui paradossi Paradoxien des Unendlichen, uno studio sui paradossi dell’infinito. Per la prima volta compare il termine di insieme. In questo lavoro Bolzano fornisce esempi sulla corrispondenza uno ad uno, tra gli elementi di un insieme infinito e di un sottoinsieme proprio. La maggior parte dei lavori di Bolzano rimase nella forma di manoscritto, restando quindi ignoto non ebbe influenza sullo sviluppo della material. Molte opere non furono pubblicate fino al 1862 o successivamente. Le teorie di Bolzano sull’infinito matematico anticiparono quelle di Georg Cantor sugli insiemi infiniti. Un altro rilevante contributo dato da Bolzano è quello di una funzione mai differenziabile ma ovunque continua.

Biografia_Klein

                               Felix  Klein

                                    
                               25 Aprile 1849 –  22 Giugno 1925

Felix Christian Klein è conosciuto soprattutto per il suo lavoro sulla Geometria non euclidea, i legami tra Geometria e teoria dei gruppi, e per i risultati ottenuti sulla teoria delle funzioni. Nato il 25/4/1849, era compiaciuto di mostrare che ogni elemento di questa data era il quadrato di un numero primo 52/22/432. Klein frequentò il Ginnasio a Düsseldorf. Dopo il diploma entrò all’Università di Bonn e vi studio Matematica e Fisica tra il 1865 e il 1866. Aveva iniziato la sua carriera con l’intenzione di diventare un fisico. Nel 1866, mentre era ancora studente universitario, Plucker gli offrì di essere suo assistente di laboratorio. Plucker aveva la cattedra di Matematica e Fisica sperimentale a Bonn, ma il suo interesse iniziava a radicarsi soprattutto nella Geometria. Klein conseguì il suo dottorato nel 1868, sotto la supervisione di Plucker, con una dissertazione Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien- Koordinaten auf eine kanonische Form sulla Geometria e le sue applicazioni alla meccanica. Nella sua dissertazione Klein classificò le curve complesse di secondo grado, usando la teoria di Weierstrass dei divisori elementari. L’anno in cui Klein conseguì il suo dottorato, Plucker morì lasciando incompleta la sua opera maggiore sulla Geometria. Klein era la persona più idonea per completare la seconda parte del Neue Géometrie des Raumes di Plucker, e questo lavoro lo portò a conoscere Clebsh. Questi si era trasferito a Göttingen nel 1868 e, durante il 1869, Klein si recò a Berlino, Paragi e Göttingen. Nel Luglio del 1870 Klein era a Parigi, quando Bismarck, il cancelliere Prusso, rese manifesto un messaggio provocatorio contro il governo Francese. La Francia dichiarò guerra alla Prussia il 19 Luglio, e Klein sentì che non poteva più restare a Parigi e ritornò. Quindi, per un breve periodo fece il militare, sino a quando fu nominato insegnante a Gottingen nel 1871. Nel 1872 Klein fu nominato professore a Erlangen, in Bavaria nella Germania meridionale. Egli fu fortemente sostenuto da Clebsch, che lo considerava come il probabile miglior matematico del suo tempo, e così Klein ebbe una cattedra alla giovane età di 23 anni. Ad ogni modo Klein non costruì una scuola a Erlangen dove vi erano solo pochi studenti, e fu contento quando, nel 1875, gli offrirono una cattedra al Technische Hochschule a Monaco.Insieme al suo collega Brill insegnò corsi avanzati ad un numero più ampio di studenti eccellenti, e il grande talento di Klein nell’insegnare fu completamente espresso. Tra gli studenti a cui insegnò Klein a Monaco, ci furono Hurwitz, von Dyck, Rohn, Runge, Plance, Bianchi e Ricci-Cubastro. Nel 1875 Klein sposò Anne Hegel, nipote del filosofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Dopo cinque anni al Technische Hochschule a Monaco, Klein fu nominato alla cattedra di Geometria a Leipzig.Li ebbe come colleghi brillanti e giovani insegnanti, fra cui von Dyck, Rohn, Study e Engel. Nel 1886 Klein accettò una cattedra all’Università di Göttingen. Egli vi insegnò fino a quando si ritirò nel 1913 e cercò di ristabilire a Göttingen il più importante centro di ricerca Matematica al mondo. La leadership in Geometria che ebbe a Leipzig non si trasferì mai a Göttingen. Qui egli insegnò un’ampia varietà di corsi, soprattutto sull’interfaccia tra Fisica e Matematica, come Meccanica e teoria potenziale. Klein stabilì a Göttingen un centro di ricerca che doveva servire come modello per i migliori centri di ricerca nel mondo. Egli inaugurò incontri di discussione settimanale e una stanza di lettura con una libreria Matematica. Klein fece in modo che Hilbert da Königsberg raggiungesse il suo team di ricerca a Göttingen. La fama del giornale Mathematische Annalen si fonda sulla sulle sue abilità matematiche e direttive. Il giornale in origine fu fondato da Clebsch ma, solo sotto la direzione di Klein riuscì a superare il giornale di Crelle. In un certo senso questi giornali rappresentavano i due team rivali che seguivano da un lato la scuola di Berlino con il giornale di Crelle e dall’altro i seguaci di Clebsch che sostenevano il Mathematische Annalen. Klein mise in piedi un piccolo team di editori che si incontravano regolarmente e prendevano decisioni democratiche. Il giornale si specializzò in analisi complessa,geometria algebrica e teoria invariante. Inoltre esso costituì un importante contributo all’analisi reale e alla teoria dei gruppi. Nel 1913 Klein si ritirò per problemi di salute. Comunque continuò ad insegnare Matematica in casa durante la Prima Guerra Mondiale. Oggi che il contributo di Klein alla Geometria è entrato a far parte del pensiero matematico, risulta arduo comprendere come mai i suoi risultati non venissero universalmente accettati dai suoi contemporanei. Le prime importanti scoperte di Klein furono fatte nel 1870 in collaborazione con Lie. Essi scoprirono le proprietà fondamentali delle curve asintotiche nella superficie di Kummer.La collaborazione con Lie continuò, e lavorarono sulle curve-W, curve invarianti sotto un gruppo di trasformazioni proiettive. Lie rivestì un ruolo importante nello sviluppo del pensiero di Klein,infatti gli presentò il concetto di gruppo, che occupò un peso rilevante in un suo lavoro successivo. E’ corretto aggiungere che anche Camille Jordan aveva istruito Klein sui gruppi. Durante il tempo trascorso a Göttingen nel 1871 Klein fece le maggiori scoperte riguardo la Geometria. Egli pubblicò due scritti On the So-called Non-Euclidean Geometry in cui mostrò che era possibile considerare la geometria euclidea e quella non-euclidea come casi speciali di una superficie proiettiva con l’aggiunta di una sezione conica. Ciò determinò il noto corollario che una geometria non euclidea era consistente se e solo se la geometria euclidea è consistente. Oggi la geometria non euclidea non è più un argomento controverso. Essa è stata posta ad uno stesso livello di importanza della geometria euclidea. Cayley non accettò mai le teorie di Klein credendo che i suoi argomenti fossero circolari. La sintesi di Klein della geometria come studio delle proprietà dello spazio che sono invarianti sotto un dato gruppo di trasformazioni, conosciuta come Erlanger Programm (1872),influenzò profondamente lo sviluppo della matematica. Questo fu scritto quando Klein nel 1872 fu nominato professore a Erlangen. Erlanger Programm fornì l’approccio unificato alla geometria che oggi è accettato come standard. Le trasformazioni giocano un ruolo maggiore nella Matematica moderna e Klein mostrò come le proprietà essenziali di una data geometria potevano essere rappresentate da un gruppo di trasformazioni che conservano tali proprietà. In questo modo Erlanger Programm definì una geometria che includeva sia la Geometria Euclidea che la Geometria non Euclidea. Ad ogni modo anche Klein stesso vide nel suo lavoro sulle funzioni il suo maggior contributo alla Matematica. Klein considerò le equazioni di grado superiore al quarto e fu particolarmente interessato nell’uso di metodi trascendenti per risolvere le equazioni di quinto grado. Dopo aver lavorato sui metodi di Hermite e Kronecker, trovò una completa soluzione al problema usando il gruppo dell’icosaedro, Questo lavoro lo portò a considerare le funzioni modulari ellittiche che aveva studiato in una serie di scritti. Sviluppò una teoria delle funzioni automorfiche, unificando i risultati dell’Algebra e della Geometria in un suo importante libro del 1884 sull’icosaedro. Poincarè aveva iniziato a pubblicare sulle curve automorfiche nel 1881, e tra i due nacque una competizione. Durante questo lavoro la salute di Klein peggiorò. Con Robert Fricke che arrivò a Leipzig nel 1884, Klein scrisse un lavoro in quattro volumi sulle funzioni modulari automorfiche ed ellittiche, prodotto nei successive vent’anni. Nel 1890 si interessò alla Fisica matematica e pubblicò un importante lavoro sul giroscopio con A. Sommerfield. Klein fu eletto presidente della Commissione Internazionale sull’Istruzione Matematica del Congresso Internazionale di Matematica tenuto a Roma nel 1908. Sotto la sua guida la componente tedesca della Commissione pubblicò diversi volumi sull’insegnamento della Matematica a tutti il livelli in Germania. Un altro progetto a cui lavorò sul finire del secolo fu la Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Rivestì un ruolo attivo in questo progetto scrivendo con K. Müller quattro volumi sulla Meccanica. Klein fu eletto membro della Royal Society nel 1885 e ricevette la medaglia Copley nel 1912. La London Mathematical Society gli conferì la medaglia De Morgan nel 1893.

Biografia_Dedekind

                            Julius Dedekind 
                            File:Richard Dedekind.jpg
                         (6 Ottobre 1831 – 12 Febbraio 1916)

Julius Wilhelm Richard Dedekind è stato un matematico tedesco molto vicino ad Ernst Eduard Kummer per l’aritmetica. Nato a Brunswick, era il minore di quattro figli di Julius Levin Ulrich Dedekind. Egli visse con la sorella Julia fino alla sua morte nel 1914, entrambi non si sposarono mai. Nel 1848, entrò al Carolinum a Brunswick e nel 1850, dopo aver conseguito una robusta conoscenza della Matematica entrò all’Università di Gottingen A Gottingen Gauss insegnava Matematica ad un livello abbastanza elementare. Dedekind apprese la teoria dei numeri presso il Dipartimento di Matematica e Fisica. Tra i principali insegnanti di Dedekind, vi era Moritz Abraham Stern che a quel tempo scrisse diversi lavori sulla teoria dei numeri. Fece una tesi di dottorato sotto la supervisione di Gauss, sulla teoria degli integrali di Eulero.Nella sua tesi dimostrò abilità e autonomia ma, non il particolare talento presente in ogni pagina di un lavoro successivo. Gauss si era certamente accorto del contributo dato da Dedekind alla Matematica. Dedekind conseguì il suo dottorato nel 1852 e fu l’ultimo allievo di Gauss. Successivamente Dedekind trascorse due anni a Berlino.Nel 1854, contemporaneamente a Riemann, gli fu riconosciuta l’abilitazione di Laurea. Dedekind iniziò a insegnare probabilità e geometria a Gottingen. Qualche volta studiò con Dirichlet, e diventarono cari amici. Si dedicò allo studio delle funzioni ellittiche e di quelle abeliane per colmare le carenze della matematica su tali argomenti. Allo stesso tempo su il primo a tenere conferenze sulla teoria di Galois. Fu tra i primi a comprendere ilo significato fondamentale della teoria dei gruppi in algebra e in aritmetica. Nel 1858 andò a Zurigo ad insegnare al Politecnico. In questo periodo definì una nuovo metodo di rappresentare i numeri reali come rapporti di numeri razionali. Un numero irrazionale separa i numeri razionali in due classi, una superiore e una inferiore. Per esempio la radice quadrata di due pone nella classe inferiore tutti i numeri negativi e quelli con quadrato minore di due, in quella superiore i positivi con quadrato maggiore di due. Anche adesso questa è una delle definizioni standard per i numeri reali. Successivamente alla trasformazione del Collegium Carolinum nella Technical High School, Dedekind iniziò ad insegnarvi nel 1862, e vi rimase per i 50 anni più produttivi della sua vita. Nel 1863 pubblicò lezioni di Dirichlet sulla teoria dei numeri Vorlesungen uber Zahlentheorie (Lezioni sulla Teoria dei Numeri). Nel 1872 pubblicò una ridefinizione più rigorosa dei numeri irrazionali in uno scritto intitolato Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuità e numeri irrazionali).Nel 1874 incontrò Cantor in Svizzera a Interlaken. Dedekind fu il primo matematico ad accettare il lavoro di Cantor sulla teoria degli insiemi infiniti, altri matematici non avevano ancora compreso le loro teorie. Il suo aiuto fu fondamentale per Cantor per contrastare le obiezioni di Kronecker al concetto generale di infinito nella teoria dei numeri. Nel lavoro prima menzionato aveva fornito la precisa definizione di un insieme infinito. Egli sosteneva che un insieme è infinito quando è simile ad un suo sottoinsieme. Ad esempio nell’insieme N dei numeri naturali esiste una corrispondenza uno ad uno con il sottoinsieme dei quadrati N2,

(N → N2):

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

↓

N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...

Nella terza edizione del libro (1879) Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (Sulla Teoria dei numeri interi algebrici) propose la nozione di numero perfetto. Egli basò il suo lavoro sulle teorie di Kummer esposte nel suo lavoro del 1843 sull’ultima teoria di Fermat Nel 1882 pubblico con Heinrich Martin Weber un articolo in cui la teoria di Dedekind sul numero perfetto, viene applicata alle superfici di Riemann. Nel 1888 pubblicò Was sind und was sollen die Zahlen? (Cosa sono i numeri e cosa dovrebbero essere?) dove definì gli insiemi infiniti nella sua concezione. In questo lavoro dimostrò come si potrebbe far derivare l’aritmetica da un insieme di assiomi. Una versione equivalente ma più semplice, fu formulata da Peano, un anno dopo, nel 1889 ed è la più conosciuta oggi.

Intestazione

GIG0i