Utente:Luca Antonelli/Sandbox03

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Teorema di barbier

In geometria, il teorema di Barbier permette di calcolare il perimetro delle curve delle curve ad ampiezza costante, dove l'ampiezza di una curva convessa è la distanza tra due rette parallele tangenti alla sua frontiera; il teorema prende il nome da Joseph Emile Barbier, che lo dimostrò per la prima volta.

Non è possibile estendere il teorema a dimensioni superiori: l'analogo enunciato per superfici di ampiezza costante è in generale falso.

Enunciato

Il perimetro di una curva di ampiezza costante $r$ è $\pi r$.

Esempi

La circonferenza è il più semplice esempio di curva ad ampiezza costante; in questo caso il teorema è banalmente valido.

Un esempio non banale è dato dai poligoni di Reuleaux di ampiezza $r$, che sono costituiti da $n$ archi di cerchio di raggio $r$ e di angolo $\alpha ={\frac {\pi }{n}}$; il perimetro del poligono vale allora:

$nr\alpha =nr{\frac {\pi }{n}}=r\pi$.

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema è basata pricipalmente sull'utilizzo della somma di Minkowski tra insiemi convessi, in particolare sulle seguenti proprietà:

• in ogni direzione l'ampiezza della somma di Minkowski di due figure è uguguale alla somma delle ampiezze delle singole figure nella stessa direzione; in particolare sommando due figure ad ampiezza costante $r$ e $s$ si ottiene una figura ad ampiezza costante $r+s$;
• la somma di una figura e della sua immagine simmetrica rispetto al centro ha simmetria centrale;

Consideriamo una curva $K$ di ampiezza costante $r$ e perimetro $P(K)$; la curva $L$, ottenuta da $K$ per simmetria centrale, ha anch'essa ampiezza costante $r$ e perimetro $P(L)=P(K)$.

La loro somma di Minkowski $K+L$ ha allora ampiezza costante $2r$, ed è a simmetria centrale, pertanto è un cerchio (TODO 6). Il suo perimetro è $2\pi r=P(K+L)=P(K)+P(L)=2P(K)$, de cui segue $P(K)=\pi r$.

Properties of Minkowski's Addition

  1. The shape of the sum does not depend on the location of the origin.
  2. The sum of convex figures is convex.
  4. The perimeter of the sum equals the sum of perimeters of the addends.
  6.
     Circle is the only centrally symmetric shape of constant width.

     Indeed, let a shape of constant width has a diameter (the line connecting two extreme points in a given direction) AB. AB must pass through the center of symmetry. Otherwise, its central image A'B' is another diameter in the same direction. In the parallelogram ABA'B' one of the angles A or B is not less than 90o. Assuming it's A, from BAB', BB' > AB. But this leads to a contradiction, because in a shape of constant width no two points may be at the distance exceeding its diameter (common width in any direction.) Therefore, all diameters of a centrally symmetric shape of constant width pass through the center of symmetry. Because of the symmetry, each of the diameters is divided in half by that point. Thus not only the shape has diameters, it also has radii. It's a circle.

Collegamenti esterni

• (EN) Il teorema di Barbier in Cut the Knot

[[ru:Теорема Барбье]]

Teorema fondamentale degli omomorfismi

In algebra astratta, il teorema fondamentale degli isomorfismi esprime una importante proprietà degli omomorfismi tra strutture algebriche, e permette di definire degli isomorfismi naturali fra strutture algebriche.

Definizioni preliminari

Siano date due strutture algebriche $A$ e $B$ e un omomorfismo $f:A\rightarrow f(A)\subseteq B$. $f$ induce su $A$ la seguente relazione di equivalenza (detta nucleo dell'omomorfismo):

$\forall a_{1},\,a_{2}\in A,\,a_{1}\sim a_{2}\iff f(a_{1})=f(a_{2})$.

Detta $[a]$ la classe di equivalenza cui appartiene l'elemento $a\in A$, l'insieme quoziente ${\frac {A}{\sim }}$ si può dotare della seguente operazione

$[a_{1}]*[a_{2}]=[a_{1}a_{2}]$,

definendo così la struttra quoziente $\left({\frac {A}{\sim }},*\right)$.

Enunciato

Vale allora il seguente isomorfismo:

$f(A)\simeq {\frac {A}{\sim }}$.

Dimostrazione

Per dimostrare l'enunciato è sufficiente trovare un isomorfismo tra ${\frac {A}{\ker f}}$ e $f(A)$. L'isomorfismo in questione è:

${\begin{aligned}\phi :&{\frac {A}{\sim }}&\rightarrow &f(A)\\&[a]&\mapsto &f(a).\end{aligned}}$

Si dimostra facilmente che $\phi$ è un isomorfismo:

• la funzione $\phi$ è evidentemente suriettiva, in quanto per ogni $y\in f(A)$, $y=f(a)$ è l'immagine di un elemento $a\in A$, e allora possiamo scrivere $y=\phi ([a])$;

• $\phi$ è iniettiva: $\phi ([a])=\phi ([b])$ significa $f(a)=f(b)$, cioè che vale la relazione di equivalenza $[a]=[b]$;

• $\phi$ è un morfismo: $\phi ([a][b])=f(ab)=f(a)f(b)=\phi ([a])\phi ([b])$.

Casi particolari

Se la struttura algebrica $A$ è almeno un gruppo (o un anello), è possibile descrivere il nucleo come sottogruppo normale (rispettivamente un ideale) di $A$

$f(A)\simeq {\frac {A}{\ker f}}$

Bibliografia

Il mio libro di algebra...