Utente:Martinligabue/archivi/madonnarosa

(minmax di funzioni)

Risoluzione del problema

Per trovare i punti di minimo e massimo della funzione $f(x,y)=5x^{2}+4y^{3}+3xy-7$ all'interno dell'insieme $E=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq x\}$, dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Trovare i punti critici di $f(x,y)$ all'interno della regione $E$ ponendo le derivate parziali uguali a zero.
2. Valutare la funzione sui confini della regione $E$.
3. Confrontare i valori della funzione nei punti critici e sui confini per determinare il minimo e il massimo.

Passaggio 1: Trovare i Punti Critici

Calcoliamo le derivate parziali di $f(x,y)$: $f_{x}(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}(5x^{2}+4y^{3}+3xy-7)=10x+3y$ e $f_{y}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}(5x^{2}+4y^{3}+3xy-7)=12y^{2}+3x$

Poniamo le derivate parziali uguali a zero per trovare i punti critici: $10x+3y=0$ e $12y^{2}+3x=0$

Dalla prima equazione: $y=-{\frac {10}{3}}x$

Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione: $12\left(-{\frac {10}{3}}x\right)^{2}+3x=0$ $12\cdot {\frac {100}{9}}x^{2}+3x=0$ ${\frac {400}{3}}x^{2}+3x=0$ $x\left({\frac {400}{3}}x+3\right)=0$

Questo dà $x=0$ o $x=-{\frac {9}{400}}$.

Poiché $x=-{\frac {9}{400}}$ non è nell'intervallo $0\leq x\leq 1$, consideriamo solo $x=0$: $y=0$

Quindi, un punto critico è $(0,0)$.

Passaggio 2: Valutare sui Confini

Valutiamo $f(x,y)$ sui confini della regione $E$.

1. Confine $x=0$ e $0\leq y\leq 0$: $f(0,y)=5\cdot 0^{2}+4y^{3}+3\cdot 0\cdot y-7=-7$ $f(0,y)=-7$
2. Confine $y=0$ e $0\leq x\leq 1$: $f(x,0)=5x^{2}+4\cdot 0^{3}+3x\cdot 0-7=5x^{2}-7$
3. Confine $y=x$ e $0\leq x\leq 1$: $f(x,x)=5x^{2}+4x^{3}+3x\cdot x-7=5x^{2}+4x^{3}+3x^{2}-7=8x^{2}+4x^{3}-7$

Passaggio 3: Confrontare i Valori

Valutiamo $f(x,y)$ nei punti critici e sui confini:

• Valutiamo in $(0,0)$:

$f(0,0)=-7$

• Valutiamo in $(1,0)$:

$f(1,0)=5\cdot 1^{2}-7=5-7=-2$

• Valutiamo in $(1,1)$:

$f(1,1)=8\cdot 1^{2}+4\cdot 1^{3}-7=8+4-7=5$

Conclusione

Confrontando questi valori, il valore minimo è $-7$ e il valore massimo è $5$.

• Punto di minimo: $(0,0)$
• Punto di massimo: $(1,1)$

Teoremi Utilizzati

1. Teorema di Fermat: Se $f$ ha un massimo o un minimo locale in un punto interno del dominio e la derivata parziale esiste in quel punto, allora le derivate parziali della funzione in quel punto sono nulle.
2. Teorema dei Massimi e Minimi: Su un insieme chiuso e limitato, una funzione continua assume sia un massimo che un minimo.

Questi teoremi ci aiutano a trovare i punti critici e a confrontare i valori della funzione sui confini per determinare i punti di minimo e massimo all'interno dell'insieme dato.