Utente:Max.vaglieco/Sandbox

Equazione Parametrica Trigonometrica

Come l'Ellisse anche l'Iperbole ha funzioni Parametriche Trigonometriche.Per un Punto P(x;y) dell'Iperbole esse sono:
$x={a \over \cos \alpha }\quad y=b\tan \alpha$
essendo α angolo di riferimento con 0 ≤ α ≤ 2π.

DIMOSTRAZIONE:

${\begin{cases}x={a \over \cos \alpha }\\y=b\tan \alpha \end{cases}}\qquad \rightarrow {\begin{cases}x\cos \alpha =a\\y={\frac {bx\cos \alpha }{a}}\end{cases}}\qquad \rightarrow \quad {\begin{cases}bx\cos \alpha =ba\\bx\sin \alpha =ay\end{cases}}$
quadrando e sommando:
$\qquad b^{2}x^{2}=b^{2}a^{2}+a^{2}y^{2}\qquad \Longrightarrow \quad b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$
Dove l'ultima espressione è l'Equazione conica dell'Iperbole.
Gli angoli dell'equazione conica e quella parametrica hanno legame:
${y \over x}=\tan \beta ={b \over a}\sin \alpha$
La distanza del punto P dal centro O(0;0) è:
per l' Iperbole:
${\overline {OP}}^{2}=x^{2}+y^{2}={a^{2} \over \cos ^{2}\alpha }+b^{2}\tan ^{2}\alpha =a^{2}+(a^{2}+b^{2})\tan ^{2}\alpha =a^{2}(1+e^{2}\tan ^{2}\alpha )$
per l'Iperbole Equilatera:
${\overline {OP}}^{2}=x^{2}+y^{2}=a^{2}({1 \over \cos ^{2}\alpha }+\tan ^{2}\alpha )=a^{2}(1+2\tan ^{2}\alpha )$