File:Rugosità superficie tornita 02corretta.png Superficie tornita: altezza media del profilo
h
=
R
a
{\displaystyle h=R_{a}}
Media
0
,
0952...
{\displaystyle 0,0952...}
del profilo:
μ
=
r
−
1
2
r
2
−
f
2
4
−
r
2
arcsin
f
2
r
{\displaystyle \mu =r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {f^{2}}{4}}}}-r^{2}\arcsin {\frac {f}{2r}}}
Descrizione analitica del profilo da punto "di valle" a primo picco verso destra (
0
≤
x
≤
f
2
{\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {f}{2}}}
):
g
(
x
)
=
r
−
r
2
−
x
2
{\displaystyle g(x)=r-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
Funzione errore:
ξ
(
x
)
=
g
(
x
)
−
μ
{\displaystyle \xi (x)=g(x)-\mu }
Media dei valori assoluti degli errori:
⟨
|
ξ
(
x
)
|
⟩
=
1
(
f
2
)
∫
0
f
2
|
ξ
(
x
)
|
d
x
=
2
f
∫
0
f
2
|
g
(
x
)
−
μ
|
d
x
=
2
f
(
∫
0
g
−
1
(
μ
)
μ
−
g
(
x
)
d
x
+
∫
g
−
1
(
μ
)
f
2
g
(
x
)
−
μ
d
x
)
{\displaystyle \left\langle \left|\xi (x)\right|\right\rangle ={\frac {1}{\left({\frac {f}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {f}{2}}\left|\xi (x)\right|\,dx={\frac {2}{f}}\int _{0}^{\frac {f}{2}}\left|g(x)-\mu \right|\,dx={\frac {2}{f}}\left(\int _{0}^{g^{-1}(\mu )}\mu -g(x)\,dx+\int _{g^{-1}(\mu )}^{\frac {f}{2}}g(x)-\mu \,dx\right)}
[1]
Parametro
R
a
{\displaystyle R_{a}}
(media degli scostamenti assoluti)
modifica
Sebbene sia possibile trovare una soluzione analitica esatta per il valore teorico del parametro di rugosità
R
a
{\displaystyle R_{a}}
(media degli scostamenti, in valore assoluto, di ogni punto del profilo dalla linea media del profilo), essa è complessa e quindi di poca utilità. La soluzione è la seguente:
R
a
=
2
r
2
f
a
r
c
s
i
n
(
λ
2
r
)
−
λ
f
r
2
−
λ
2
4
{\displaystyle R_{a}={\frac {2r^{2}}{f}}arcsin{\left({\frac {\lambda }{2r}}\right)}-{\frac {\lambda }{f}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{4}}}}}
dove il valore
λ
{\displaystyle \lambda }
è definito come:
λ
=
2
μ
(
2
r
−
μ
)
{\displaystyle \lambda =2{\sqrt {\mu \left(2r-\mu \right)}}}
e il valore
μ
{\displaystyle \mu }
(altezza media del profilo, calcolata in riferimento al punto più basso di questo) si calcola come:
μ
=
r
−
1
2
r
2
−
f
2
4
−
r
2
f
a
r
c
s
i
n
(
f
2
r
)
{\displaystyle \mu =r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {f^{2}}{4}}}}-{\frac {r^{2}}{f}}arcsin{\left({\frac {f}{2r}}\right)}}
Esiste tuttavia un'approssimazione empirica, nota ancora una volta come formula di Schmalzl , e talvolta riportata sui manuali di tornitura:
R
a
(
μ
m
)
≈
1000
32
⋅
[
f
(
mm
)
]
2
r
(
mm
)
{\displaystyle R_{a}\left(\mu {\mbox{m}}\right)\approx {\frac {1000}{32}}\cdot {\frac {\left[f\left({\mbox{mm}}\right)\right]^{2}}{r\left({\mbox{mm}}\right)}}}
d
j
d
x
j
φ
2
(
x
)
=
(
−
1
)
j
(
n
+
j
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
0
∞
1
(
x
+
k
)
n
+
j
{\displaystyle {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}\varphi _{2}(x)=(-1)^{j}{\frac {(n+j-1)!}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(x+k)^{n+j}}}}