Utente:Nx11/Sandbox

Modello di Ramsey-Cass-Koopmans

Sia $H$ il numero delle famiglie presenti nella società, $L(t)$ la popolazione al tempo $t$, $A(t)$ il coefficiente che rappresenta la produttività derivante dal progresso tecnologico, $K(t)$ il capitale. La crescita di $L(t)$ e di $A(t)$ sono esogeni, analogamente al modello di Solow: ${{\dot {L(t)}} \over L(t)}=n$ e ${\frac {\dot {A(t)}}{A(t)}}=g$. Ogni famiglia dunque cresce al tasso $n$ e la sua dimensione è ${\frac {L(t)}{H}}$.

Vi sono poi le imprese, tutte identiche e con funzione di produzione $Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))$; assumono lavoro e prendono in affitto capitale. Le imprese sono di proprietà delle famiglie, così come i relativi profitti. Ogni famiglia dispone inizialmente della medesima quota di capitale iniziale, $K(0) \over H$. Sia poi $C(t)$ la funzione che rappresenta la quantità di beni consumata in funzione del tempo, e conseguentemente $u(C(t))$ è l'utilità di tale consumo.

In primo luogo, consideriamo la questione della Scelta intertemporale in un contesto come questo di funzioni continue. Supponiamo che l'utilità di un dato livello di consumo decresca nel tempo ad un tasso $\rho$; di conseguenza ${\frac {\dot {u}}{u}}=-\rho$, che è un'equazione differenziale avente soluzione $u(t)=e^{-\rho t}u(0)$, dove $u(0)$ è il livello di utilità iniziale. Per un orizzonte temporale infinito, l'utilità di ogni famiglia è data dalla somma per ogni istante di vita delle utilità con fattore di sconto intertemporale $\rho$:

$$U=\int _{t=0}^{+\infty }e^{-\rho t}u(C(t)){\frac {L(t)}{H}}dt$$

In ogni istante, le imprese remunerano i fattori di produzione lavoro e capitale in ragione del loro prodotto marginale. La remunerazione del capitale (o anche tasso di interesse) è data da: $R(t)={\frac {\partial F(K(t),A(t)L(t))}{\partial K(t)}}$, o in forma intensiva: $r(t)=f'(k(t))$. La remunerazione del lavoro (o anche salario) espressa in forma intensiva è:

$$W(t)={\frac {\partial A(t)L(t)f\left({\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}\right)}{\partial L(t)}}=A(t)f\left({\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}\right)+A(t)L(t){\frac {\partial f\left({\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}\right)}{\partial {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}}}{\frac {\partial {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}}{\partial L(t)}}=A(t)f(k)-A(t)L(t)f'(k){\frac {K(t)}{A(t)L(t)^{2}}}=A(t)\left(f(k)-f'(k)k\right)$$

Naturalmente, se si vuole il salario per unità di lavoro effettivo, basta ${\textstyle {\frac {W(t)}{A(t)}}=\left(f(k)-f'(k)k\right)=w(t)}$.

Vediamo ora il comportamento delle famiglie, che considerano dati i tassi $r(t)$ e $w(t)$. Quello che possono consumare in una vita non può eccedere la loro dotazione iniziale più quello che guadagneranno in salari e interessi, ma il problema è che $r(t)$ non è necessariamente costante. La variazione nel tempo del prodotto generata dalla capitalizzazione della remunerazione di una unità di capitale investita è data da ${\dot {K(t)}}=K(t)r(t)$, che è un'equazione differenziale avente la soluzione $K(t)=e^{\int _{u=0}^{+\infty }r(u)du}$ se, come ipotizzato, inizialmente si è investito una unità di capitale. Il valore presente di una unità al tempo $t$ è dato da ${\frac {1}{K(t)}}=e^{\int _{u=0}^{+\infty }-r(u)du}$. Le entrate derivanti dal lavoro sono ${\frac {L(t)}{H}}W(t)$ e i consumi sono analogamente ${\frac {L(t)}{H}}C(t)$.