Trasformata di Fourier in

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Sia   si definisce trasformata di Fourier della funzione  :

 

indichiamo l'operazione con la lettera F calligrafica, perciò:

 

Si può estendere questa definizione anche per funzioni  :

 

Dove   rappresenta il prodotto scalare.

Sia  , perciò:

 

Sia  , perciò:

 

Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:

 

Mettendo insieme le due cose otteniamo:

 

Teoremi

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Elenchiamo le principali proprietà della trasformata di Fourier, utili per lo studio a priori e il calcolo di esse:

  • La trasformata di Fourier è un operatore lineare:
 

Presa una funzione   e la sua trasformata  

  • Se   è pari   è pari.
  • Se   è dispari   è dispari.
  • Se   è reale pari   è reale pari.
  • Se   è reale dispari   è immaginaria pura dispari.
  • Scaling:  
  • Shifting:  
  • Modulazione complessa:  
  • Modulazione reale:  

Prendiamo la funzione  , come già sappiamo la sua trasformata è  

  • Siccome   è reale pari, anche   lo sarà, infatti è tale.
  • Calcoliamo  , applicando il teorema descritto in precedenza per l'operazione di scaling otteniamo:
 
  • Calcoliamo  , applicando la linearità della trasformata di Fourier e il teorema per lo scaling:
 
  • Calcoliamo  , applicando il teorema per la modulazione reale:
 

Teorema Riemann - Lebesgue

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Sia  , se  , allora:

  1.  
  2.  
  3.  

Dimostrazione

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Dimostrazione del punto 1

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Siccome la variabile  , per definizione della trasformata di Fourier, appartiene a   ed essendo quest'ultimo uno spazio di Banach, presa una successione di Cauchy   essa convergerà a un valore  , perciò avremo:

 

Allora anche la successione   sarà di Cauchy e convergente:

 

Ora la nostra idea, per dimostrare la continuità dalla funzione trasformata, si basa sul teorema di Lebesgue, dovremo quindi dimostrare la convergenza dell'integrale:

 

Per fare ciò dovremo trovare una funzione  , Lebesgue integrabile tale che   quasi ovunque in  . Questa operazione è facilitata dal fatto che   e che  , perciò le ipotesi del teorema di Lebesgue sono soddisfatte e la convergenza è dimostrata, da questo  .

La dimostrazione di   sarà conseguenza immediata della dimostrazione del punto successivo.

Dimostrazione del punto 2

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La dimostrazione del seguente punto avviene attraverso una banale minorazione.

 

Quindi:

 

e non è migliorabile se  :

 

Dimostrazione del punto 3

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Consideriamo la funzione  , quindi:

 

Notare che   è una singolarità apparente e  . Definiamo ora la successione:

 

Siccome la trasformata della funzione   è infinitesima, anche la somma di trasformate lo sarà. Perciò se  , allora   e   della forma:

 

tale che   quasi ovunque, cioè:

 

Inoltre   tale che   se  , quindi:

 

Per  :

 

Riassumendo, per  :

 

Teoremi

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Teorema 1

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Siano   allora   e:

 

Dimostrazione

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Osservazione

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Più in generale per funzioni in  , se   e:

 

Teorema 2

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Siano   allora

 .

Più in generale se   allora

 

Nota bene: con la trasformata di Fourier l'operatore differenziale diventa una moltiplicazione per una potenza di  , infatti se   allora:

 

Per la dimostrazione di questo teorema citiamo prima un lemma.

 

Dimostrazione

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Calcoliamo semplicemente la trasformata della derivata della funzione  

 

Integriamo per parti:

 

Per il lemma:

 

Concludendo:

 

Trasformate notevoli

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Funzioni assolutamente continue

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Sia   se   tale che

 

allora   è assolutamente continua ( ).

Invece si dirà assolutamente continua locale ( ) se  .

  è assolutamente continua infatti si ottiene integrando la funzione   (graficamente è più semplice da vedere).

Invece la funzione   possiede sempre derivata nulla, ma non è l'integrale di 0.

Anche la funzione  .

Funzioni Gaussiane

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Di fondamentale importanza per lo studio delle trasformate di Fourier è la conoscenza delle funzioni gaussiane e le loro principali proprietà. Cominciamo prendendo la più semplice

 

La prima cosa che si deve osservare è  , perciò calcoliamo il valore dell'integrale fatto su  . Prendiamo la funzione:

 

e ne calcoliamo l'integrale su  , portando tutto in coordinate polari:

 
 

Ora, ritornando alla funzione iniziale:

 

Concludendo:

 

Di facile dimostrazione (applicando un cambio di variabile) anche:

 

Ora calcoleremo   sfruttando i calcoli appena fatti:

 
 

Più in generale:

 
 

La dimostrazione di quest'ultima avviene in modo analogo alla precedente:

 
 
 

Convoluzione

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Siano  , si definisce l'operazione di convoluzione come:

 

L'operazione di convoluzione è lineare (dalla proprietà degli integrali) ed è commutativa (per sostituzione):

  •  
  •  

Ed è anche associativa (per Fubini - Tonelli):

  •  

Teorema

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Siano  , allora  

Dimostrazione

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per il teorema di Fubini - Tonelli:

 

Quindi:

 

Teorema

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Siano  , allora  

Dimostrazione

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