Per prima cosa, supponiamo che l'applicazione lineare esista e dimostriamone l'unicità.
Preso un qualunque vettore esso può essere rappresentato unicamente secondo la base scelta come . Essendo lineare avremo che:
L'immagine di è determinata quindi solamente dalle sue coordinate rispetto alla base scelta, indipendentemente dall'applicazione scelta.
In particolare supponiamo esistano due applicazioni e tali che e dimostriamo che f e g coincidono.
da cui e coincidono.
Per dimostrare l'esistenza della funzione