Variabili di Mandelstam

grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante

In fisica teorica le variabili di Mandelstam sono grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante. Vengono usate nel caso di urti elastici tra due particelle.

In questo schema due particelle entranti con impulso p1 e p2 interagiscono in qualche modo dando origine a due particelle uscenti con impulso (p3 e p4).

Le variabili di Mandelstam sono definite come:

dove p1 e p2 sono i quadri-impulsi delle particelle incidenti mentre p3 e p4 sono i quadri-impulsi delle particelle uscenti.

s rappresenta il quadrato dell'energia nel sistema del centro di massa ( , dove indica la massa invariante del sistema ) e t il quadrato della quantità di impulso trasferito durante l'urto.

Diagrammi di FeynmanModifica

Le lettere   possono essere anche usate per individuare processi in canale-s, canale-t e canale-u. Questi canali rappresentano differenti tipi di diagrammi di Feynman o differenti processi di scattering quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento  ,

     
canale-s canale-t canale-u

Per esempio il canale-s corrisponde ad un processo in cui le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che infine decade nelle particelle 3 e 4: il canale-s è l'unico modo in cui si possono scoprire risonanze e nuove particelle instabili purché abbiano un tempo di vita sufficiente per essere rivelate.

Il canale-t rappresenta un processo in cui la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4. Il canale-u è il canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.

Limite per alte energieModifica

Nel limite ultrarelativistico la massa può essere trascurata, quindi, ad esempio:

 

dal momento che   e   (c =1).

In questo limite le variabili possono essere scritte come

 

AddizioneModifica

Una proprietà di queste variabili è che la loro somma è pari alla somma dei quadrati delle masse delle particelle coinvolte (avendo posto c =1):

 .

Per la dimostrazione sono necessarie due considerazioni:

  • il modulo quadro del quadri-impulso di una particella è il quadrato della sua massa,
 
  • e la conservazione del quadri-impulso,
 

Si inizia scrivendo le tre variabili come:

 
 
 

usando la (1) si può scrivere:

 
 
 

ora, sommando le tre equazioni si trova:

 

quindi, in conclusione:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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