Campo dei quozienti
In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario è un campo tale che ogni elemento di può essere scritto come una frazione , dove e sono elementi di e è diverso dallo zero di , e dove la frazione è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie .
Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo coincide con sé stesso.
È un caso particolare di localizzazione di un anello.
Costruzione
modificaLa costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano si definisce la relazione di equivalenza
Nell'insieme quoziente di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra classi di equivalenza
che sono operazioni interne e definite in e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di gli elementi del tipo rappresentano gli elementi di , ovvero l'insieme è una copia isomorfa di
L'elemento di costituito dalla classe di equivalenza di una coppia viene anche indicato col simbolo di frazione .[1]
Proprietà
modificaIl campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.
Note
modifica- ^ può essere indicato anche come , dove (con abuso di notazione) si usano i simboli di elementi di per indicare gli elementi di ad essi corrispondenti, e dunque è ben definito essendo l'inverso moltiplicativo, in , di .
Bibliografia
modifica- Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0