Campo dei quozienti

In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario è un campo tale che ogni elemento di può essere scritto come una frazione , dove e sono elementi di e è diverso dallo zero di , e dove la frazione è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie .

Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

CostruzioneModifica

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano   si definisce la relazione di equivalenza

 

Nell'insieme quoziente   di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra classi di equivalenza

 
 

che sono operazioni interne e definite in   e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di   gli elementi del tipo   rappresentano gli elementi di  , ovvero l'insieme   è una copia isomorfa di  

L'elemento di   costituito dalla classe di equivalenza   di una coppia   viene anche indicato col simbolo di frazione  .[1]

ProprietàModifica

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

NoteModifica

  1. ^ può essere indicato anche come  , dove (con abuso di notazione) si usano i simboli di elementi di   per indicare gli elementi di   ad essi corrispondenti, e dunque   è ben definito essendo l'inverso moltiplicativo, in  , di  .

BibliografiaModifica

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
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