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Rappresentazione di più stati di tensione piana con il cerchio di Mohr

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interna in un punto, proposta dall'ingegnere tedesco Otto Mohr nel 1882. La rappresentazione è costruita riportando su un opportuno piano (il piano di Mohr), le componenti normali e tangenziali dello stato di tensione su una generica giacitura passante per il punto. Al variare della giacitura nel piano del problema, i punti rappresentativi dello stato tensionale descrivono nel piano di Mohr una circonferenza che costituisce il perimetro di quello che viene detto, appunto, cerchio di Mohr. La conoscenza del cerchio di Mohr permette di ricostruire lo stato tensionale su una qualsiasi giacitura passante per il punto e, in particolare, di individuare le tensioni principali e le direzioni principali del problema piano di tensione.

Indice

La costruzione del cerchio di MohrModifica

Sia   una terna di versori ortonormali con   quale direzione principale di tensione. In tale base, la matrice di rappresentazione del tensore degli sforzi di Cauchy

 

presenta per definizione

 

mentre in generale  . Nel caso particolare   si parla di stato piano di tensione.[1] Lo stato tensionale relativamente alle due giaciture ortogonali   è descritto dalle componenti   del tensore delle tensioni.

 
Tensione su un fascio di piani di asse 13

Si consideri adesso un'altra giacitura appartenente al fascio di piani di asse  : essa è descritta dal versore   appartenente al piano   e ottenuto mediante una rotazione rigida antioraria di angolo   a partire dal versore  

 

La tensione sul piano di normale   è data da un vettore appartenente al piano  

 

Tale vettore è decomponibile in una componente normale   (lungo la direzione  ) ed una componente tangenziale   lungo una direzione

 

appartenente al piano   e ruotata di un angolo   orario rispetto alla direzione  . Risulta:

 

Mediante banali trasformazioni trigonometriche, tali relazioni possono essere riscritte nelle

 

Al variare dell'angolo  , i valori   descrivono un cerchio in un piano  , detto cerchio di Mohr, di centro   e raggio   rispettivamente definiti dalle

 

I passi della costruzione del cerchio di MohrModifica

 
Cerchio di Mohr e stato tensionale su generiche giaciture

Assunti i versi positivi per i valori delle componenti   della tensione (  positiva se di trazione,   positiva se oraria secondo quanto riportato in figura, ovvero se indurrebbe una rotazione oraria sulla faccia corrispondente), la costruzione del cerchio di Mohr può quindi procedere secondo i seguenti passi:

  1. si tracciano due assi ortogonali, con l'asse orizzontale   rappresentante i valori delle tensioni normali, l'asse verticale   i valori delle tensioni tangenziali;
  2. si tracciano nel piano   i punti
  e  
rappresentativi rispettivamente dello stato tensionale sulle due giaciture associate agli assi delle coordinate  ;
  1. si traccia il cerchio avente come diametro la congiungente i due punti   e  ;
  2. il punto   del cerchio, simmetrico del punto   rispetto all'asse delle  , definisce il polo del cerchio di Mohr.

Proprietà del cerchio di MohrModifica

  • Il punto   rappresentativo dello stato tensionale sulla giacitura di normale   (definita da un angolo antiorario   rispetto alla giacitura verticale) è individuato sul cerchio di Mohr procedendo di un angolo antiorario   a partire dal punto  .
Risulta infatti:
 
  • La retta congiungente il punto   col polo   descrive un angolo   rispetto alla direzione verticale  : tale retta risulta pertanto parallela alla giacitura di normale  .
Risulta infatti:
 

Applicazioni del cerchio di MohrModifica

Problema I (determinazione dello stato tensionale su una generica giacitura)

Per determinare le componenti   dello stato tensionale sulla giacitura di normale   basta tracciare nel piano di Mohr la retta passante per il polo   e parallela alla traccia della giacitura (definita quindi da un angolo antiorario   rispetto alla verticale passante per  ). Tale retta intersecherà il cerchio in un altro punto   le cui componenti   rappresentano proprio le componenti tensionali cercate.

Problema II (determinazione delle tensioni e direzioni principali di tensione)

I punti   e   di intersezione del cerchio di Mohr con l'asse delle ascisse   sono rappresentativi degli stati principali di tensione. I valori principali di tensioni sono rispettivamente dati dalle

 

mentre le relative direzione principali sono individuate dalle giaciture parallele alle due rette congiungenti il polo   con i punti   e  . Tali direzioni principali sono determinate dalle inclinazioni   e   (vedi figura) con

 

Come si desume dal tracciamento del cerchio di Mohr (ma è pure dimostrabile in forma generale), i valori delle tensioni principali corrispondono a valori di massimo e minimo delle componenti normali di tensione.

 
Cerchi di Mohr nel caso di tensioni triassiali
Problema III (rappresentazione dello stato triassiale di tensione)

La conoscenza delle tre direzioni principali e delle relative tensioni principali permette di tracciare i tre cerchi di Mohr rispetto ai tre fasci di piani di asse rispettivamente  ,   e  . I valori estremi delle componenti tangenziali di tensione corrispondono ai valori massimi delle tensioni tangenziali nei tre cerchi di Mohr tracciati e sono attinte su giaciture   rispettivamente nei piani  ,   e  .

NoteModifica

  1. ^ La costruzione del cerchio di Mohr proposta è riferita al caso generale   che comprende solo come caso particolare lo stato piano di tensione.

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