Cofinalità

In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato il più piccolo ordinale tale che esista una funzione cofinale dall'ordinale ad (ricordiamo che una funzione si dice cofinale se la sua immagine è un sottoinsieme cofinale del codominio).

In formule,

Spesso si usa come sinonimo "illimitato" per il termine "cofinale", ma bisogna ben distinguere questa definizione di illimitato con quella generica d'ordine tra sottoinsiemi di insiemi qualunque. Infatti, in questo contesto, per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di contiene tutto , o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento esiste un elemento con .

Si dimostra che è un cardinale e si arriva alla seguente definizione equivalente:

Da notare che questa seconda definizione ha bisogno dell'assioma di scelta, mentre la prima non ne ha bisogno.

EsempiModifica

In tutti i seguenti esempi si suppone che gli ordinamenti siano quelli "standard".

  •  
  •  
  •   per ogni  .
  •   in quanto   è cofinale in  .

Questo non genera una contraddizione perché l'ordine standard dei numeri reali non è isomorfo a quello del cardinale che rappresenta la cardinalità del continuo (altrimenti dovrebbe essere  ).

  •  
  •  
  •  

Cofinalità sugli ordinaliModifica

Sia α un ordinale, allora valgono le seguenti proprietà

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Ordinali regolari e singolariModifica

Un ordinale α si dice regolare se  , mentre si dice singolare se  .

Valgono i seguenti fatti:

  • 1,0 sono ordinali regolari;
  • per le proprietà viste sopra ogni ordinale successore (a parte 1) è singolare; tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio   ha cofinalità  ;
  • un ordinale regolare è anche un cardinale, ma esistono anche cardinali che sono singolari: ad esempio   ha cofinalità  .
  • per ogni   ordinale   è un ordinale regolare.

Voci correlateModifica