Apri il menu principale

Cardinalità del continuo

In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere :

ProprietàModifica

Non numerabilitàModifica

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che   è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con   (aleph-zero):

 

In altre parole, i numeri reali sono molti di più (incommensurabilmente di più) dei numeri interi: tanto che questi ultimi possono venire contati, mentre i numeri reali no (per esempio è perfettamente lecito parlare dei "primi 100 numeri interi"; la stessa espressione applicata ai numeri reali è priva di senso).

Cantor dimostrò quest'affermazione utilizzando una tecnica nota come l'argomento diagonale.

Uguaglianze tra numeri cardinaliModifica

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè  . Si può concludere che l'insieme delle parti   dell'insieme dei numeri naturali   è non numerabile. È dunque naturale chiedersi se la cardinalità di   sia uguale a  . La risposta è affermativa. Si può dimostrare questa affermazione in due passi:

  1. Si definisce una applicazione   dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale   l'insieme   di tutti i razionali minori o uguali a   (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che  .
  2. Sia   l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme  . Questo insieme ha cardinalità   (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e   è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni   al numero reale appartenente all'intervallo unitario   che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione  . Questo significa che la  -esima cifra dopo la virgola è data proprio da  . L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 1 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che  .

Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che

 

Numeri bethModifica

La successione dei numeri beth è definita ponendo   e  . Dunque   è il secondo numero beth, beth-uno

 

Il terzo numero beth,  , è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.

Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che

 

dove   è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

L'ipotesi del continuoModifica

La famosa ipotesi del continuo afferma che   è anche il secondo numero aleph, cioè   (aleph-uno). In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme   avente cardinalità strettamente compresa tra   e  :

 

Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale   diverso da zero, l'uguaglianza   è indipendente da ZFC (il caso   è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio  . In particolare,   può essere uguale a   oppure a  , dove   rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi   può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

Insiemi con cardinalità Modifica

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a  . Per esempio:

  • l'insieme dei numeri reali  ,
  • qualunque intervallo (non degenere) aperto o chiuso in  , come ad esempio l'intervallo unitario  ,
  • l'insieme dei numeri irrazionali,
  • l'insieme dei numeri trascendenti,
  • lo spazio euclideo  ,
  • l'insieme dei numeri complessi  ,
  • l'insieme delle parti dei numeri naturali (l'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali),
  • l'insieme delle successioni di interi, spesso indicato con  ,
  • l'insieme delle successioni di numeri reali,  ,
  • l'insieme di tutte le funzioni continue da   in   (mentre l'insieme di tutte le funzioni da   in   ha cardinalità  )[1] ,
  • l'insieme di Cantor,
  • la topologia euclidea di   (cioè l'insieme di tutti gli insiemi aperti in  ).

NoteModifica

  1. ^ Le funzioni da   in   (o da   in  ) applicano a ogni punto di   (o di  ) un punto di   (o  ): il loro spazio ha dunque dimensione  ; per le funzioni continue, ci basta fissare i valori assunti dalla funzione nelle sue coordinate razionali, ottenendo così uno spazio di dimensione  .

BibliografiaModifica

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica