Sia il bene pubblico e () i beni privati. La funzione di produzione sotto forma implicita è data dall'espressione seguente:
dove è la quantità prodotta del bene j.
dove è la quantità del bene j consumata dall'individuo i. Non c'è l'indice i per il bene pubblico poiché la quantità consumata è la stessa per tutti gli individui. La quantità consumata dei beni privati dipende invece dalle preferenze e dal reddito di ogni individuo.
Un ottimo paretiano può essere ottenuto massimizzando l'utilità del primo consumatore sotto i vincoli esistenti tra produzione e consumo. La lagrangiana è:
Eliminando i moltiplicatori di Lagrange si ottiene:
Prendendo le trè quantità consumate , e , si può scrivere:
La seconda relazione, relativa ai beni privati j e s, è identica a quella ottenuta nell'ottimo paretiano classico. I tassi marginali di sostituzione (TMS) devono essere uguali ai tassi marginali di trasformazione dei prodotti (TTP).
La prima relazione è la condizione di ottimalità per il bene pubblico. La somma dei tassi marginali di sostituzione (tra il bene pubblico e un qualunque bene privato) di tutti i consumatori deve essere uguali al tasso marginale di trasformazione dei prodotti.
Michael Pickhardt: Fifty Years after Samuelson's The Pure Theory of Public Expenditure: What are we Left With? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, pp. 439–460.