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In geometria differenziale, la contrazione di un tensore è una operazione che trasforma un tensore di tipo in un tensore di tipo .

Questa operazione è a volte detta traccia. Se il tensore è di tipo (1,1), questa equivale effettivamente al calcolo della traccia di una matrice associata.

DefinizioneModifica

La contrazione di un tensore misto di tipo   è definita nel modo seguente: si scrive il tensore iniziale usando gli indici, quindi se ne prendono due, uno superiore e l'altro inferiore, si indicano con la stessa lettera, e si interpreta il tensore risultante secondo la notazione di Einstein. Ad esempio, dato

 

poniamo   e scriviamo

 

Il tensore risultante equivale a

 

Costruzioni come questa, effettuate usando coordinate, dipendono sempre dalla scelta di una base. Il punto importante in questa costruzione specifica sta nel fatto che non dipende dalla base usata: questo è dovuto al fatto che i due indici contratti sono ad altezze diverse, e quindi le due matrici corrispondenti   e   nell'espressione che descrive la mutazione del tensore al cambiamento di base sono una inversa dell'altra e si elidono.

EsempioModifica

Se   è un tensore di tipo  , il tensore contratto   è di tipo  , cioè uno scalare. Interpretando   come endomorfismo, lo scalare è la traccia dell'endomorfismo, definita come la somma degli elementi   che stanno sulla diagonale principale di una matrice associata  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Donald H. Menzel. Mathematical Physics. Dover Publications, New York.
  • (EN) Richard L. Bishop and Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0486640396.

Voci correlateModifica