Costante di Bernštejn

La costante di Bernštejn, solitamente indicata con la lettera greca β, è una costante matematica chiamata così in onore di Sergej Natanovič Bernštejn ed è approssimativamente uguale a 0,2801694990.

Costante di Bernstein
Simbolo	β
Valore	0,280169499… (sequenza A073001 dell'OEIS)
Origine del nome	Sergei Natanovich Bernstein
Insieme	numeri irrazionali
${\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{9+\ddots }}}}}}}}}}$ Frazione continua della costante di Bernštejn

Definizione

Sia E_n(ƒ) l'errore della migliore approssimazione uniforme di una funzione reale ƒ(x) nell'intervallo [−1, 1], costituita di polinomi reali di grado non più elevato di n. Nel caso di ƒ(x) = |x|, Bernštejn, nel 1914, dimostrò che il limite

$\beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f),\,$

chiamato "costante di Bernštejn", esiste, ed è compreso fra 0,278 e 0,286.

Tuttavia, la sua congettura secondo la quale il limite fosse uguale a

${\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}=0.28209\dots \,$

venne confutata dai matematici Varga e Carpenter nel 1987, i quali calcolarono

$\beta =0.280169499023\dots \,.$

Bibliografia

• S. N. Bernstein, Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés, vol. 37, Acta Math., 1914, pp. 1–57, DOI:10.1007/BF02401828.
• Richard S. Varga, Amos J. Carpenter, A conjecture of S. Bernstein in approximation theory, vol. 57, Math. USSR Sbornik, 1987, pp. 547–560, DOI:10.1070/SM1987v057n02ABEH003086. MR: 0842399.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Bernštejn, su MathWorld, Wolfram Research.