Costanti zeta

In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi.

La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione.

ζ(3)

ζ(3) è noto come costante di Apéry.

ζ(5)

Simon Plouffe fornisce le identità

$\zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}$

e

$\zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}$

ζ(7)

$\zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}$

Si noti che la rappresentazione ha la forma di una serie di Lambert.

ζ(2n+1)

Se si definiscono le quantità

$S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}$ ,

si ottiene una serie di relazioni della forma

$0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)$

dove $A_{n},B_{n},C_{n}$ e $D_{n}$ si congettura siano interi positivi. Plouffe fornisce una tavola di valori:

Coefficienti

n	A	B	C	D
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Se esiste una relazione di ricorrenza, non appare affatto ovvia.

Vi sono vari risultati che dimostrano che non tutti i numeri di una famiglia di ζ(2n+1) possono essere razionali. Per quanto riguarda ζ(5), il miglior risultato, a quanto risulta, afferma che almeno uno dei numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.

ζ(2n)

Per i valori corrispondenti ad argomenti pari, invece, sono esprimibili mediante i numeri di Bernoulli:

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

Tale formula si dimostra così: si considerino i polinomi di Bernoulli $B_{n}(x)$ e la loro versione periodica $b_{n}(x)$(la versione periodica dei polinomi di Bernoulli è una funzione che rimanda periodicamente i valori che i polinomi assumono nell'intervallo tra 1 e 0). La versione periodica ci permette di calcolare facilmente la serie di Fourier.

Ora dobbiamo calcolare i coefficienti della serie di Fourier: $c_{n,k}=\int _{0}^{1}b_{n}(x)e^{-i2\pi kx}dx.$

Ora integrando per parti

$c_{n,k}=[b_{n}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}b'_{n}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}dx.$ Dalle proprietà dei polinomi di Bernoulli $b_{n}(0)=b_{n}(1)$. Il primo termine è uguale a 0. Ora usiamo un'altra proprietà:

$B'_{n}(x)=nB'_{n-1}(x)$

Ottenendo:

$c_{n,k}=-\int _{0}^{1}nb_{n-1}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}dx={\frac {nc_{n-1}}{-i2\pi k}}$ per n diverso da 1 Per $n=1$ si ottiene: $c_{1,k}={\frac {B_{1}(1)-B_{1}(0)}{-2\pi ik}}=-{\frac {1}{2\pi ik}}$

ricordando che $B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}$

Dalle due uguaglianze prima viste

$c_{n,k}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}$

La serie di Fourier è dunque

$b_{n}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{2i\pi kx}}{k^{n}}}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}2\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {e^{2i\pi kx}}{k^{n}}}$ Ponendo $x=0,b_{n}(0)=B_{n}(0)$ che poi è l'ennesimo numero di Bernoulli Dunque la frazione diventa ${\frac {1}{k^{n}}}$ perché il numero di nepero elevato a zero dà 0. Dunque per ottenere la formula bisogna divedere $B_{n}(0)$ per ${\frac {2n!}{(2\pi i)^{2}}}$ Studiando la potenza dell'unità immaginaria si capisce che la formula è valida solo per i pari, perché la potenza dà un numero reale. Studiando il sengno dell'unità immaginaria elevata ad un numero pari si ottiene la formula: $\zeta (2n)={\frac {2^{2n}\pi ^{2n}B_{2n}(0)(-1)^{n-1}}{2(2n)!}}={\frac {2^{2n-1}\pi ^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}$.

I numeratori e i denominatori sono dati dalle successioni di interi registrate in OEIS con le sigle A046988 e A002432. Alcuni di questi valori sono riprodotti di seguito.

Coefficienti

2n	A	B
2	6	1
4	90	1
6	945	1
8	9450	1
10	93555	1
12	638512875	691
14	18243225	2
16	325641566250	3617
18	38979295480125	43867
20	1531329465290625	174611
22	13447856940643125	155366
24	201919571963756521875	236364091
26	11094481976030578125	1315862
28	564653660170076273671875	6785560294
30	5660878804669082674070015625	6892673020804
32	62490220571022341207266406250	7709321041217
34	12130454581433748587292890625	151628697551

Se denotiamo con $\eta _{n}$ il coefficiente $B/A$ di cui sopra,

$\zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},$

allora per ricorsione si ottiene:

$\eta _{1}={\frac {1}{6}};$

$\eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.$

Bibliografia

• Simon Plouffe (1998): Identities inspired from Ramanujan Notebooks II Archiviato il 30 gennaio 2009 in Internet Archive.
• Wadim Zudilin (2001): "One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is Irrational" Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PS in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PDF in russo Archiviato il 16 marzo 2007 in Internet Archive. PS in russo Archiviato l'11 marzo 2007 in Internet Archive.