Crivello di Legendre

In matematica, il crivello di Legendre è il metodo più semplice nella moderna teoria dei crivelli. Applica il concetto del crivello di Eratostene per trovare limiti inferiori e superiori alla stima della quantità di numeri primi entro un dato intervallo di interi. Poiché è una semplice estensione dell'idea di Eratostene, è a volte citato come crivello di Legendre-Eratostene.

L'identità di LegendreModifica

L'idea base del metodo è espressa da questa identità, detta a volte identità di Legendre:

 

dove   è un intervallo di interi,   è il prodotto di numeri primi distinti,   è la funzione di Möbius,   è l'insieme degli interi   divisibili per  , e   è definito come:

 

ossia il numero degli interi in   che non hanno fattori comuni con  .

Nella maggior parte dei casi   sono tutti gli interi minori o uguali di qualche numero  ,   è il prodotto di tutti i primi minori o uguali a qualche intero  , per cui l'identità di Legendre diviene:

   
 

(dove   denota la parte intera di  ). In questo esempio il fatto che l'identità di Legendre sia derivata dal crivello di Eratostene è chiaro: il primo termine è il numero di interi minore di  , il secondo rimuove i multipli di tutti i primi, il terzo recupera i prodotti di due primi (che sono stati scartati per errore) e così via finché tutte le   (dove   denota il numero di primi minori di  ) combinazioni di primi sono state coperte.

Una volta che   è stato calcolato per questo caso particolare, può essere usato per ottenere un limite superiore per   usando l'espressione

 

che segue immediatamente dalla definizione di  .

ProblemiModifica

Il crivello di Legendre non tratta in maniera molto efficace le parti frazionarie dei termini, che si accumulano formando un errore abbastanza grande; questo implica che il crivello stabilisce limiti molto deboli nella maggior parte dei casi. Per questa ragione è stato ormai soppiantato da altre tecniche come il crivello di Brun e il crivello di Selberg, e non viene quasi mai usato in pratica. Tuttavia anche i crivelli più potenti sono sempre basati sulla stessa idea, per cui è utile capire il funzionamento del crivello di Legendre prima di studiare gli altri.

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