Decomposizione in frazioni parziali sui reali

La decomposizione in frazioni parziali è un metodo per trasformare il rapporto tra due polinomi di $x$, $P(x)/Q(x)$, dove $P(x)$ ha grado in $x$ minore del grado in $x$ di $Q(x)$, nella somma di più frazioni dette parziali. Per esempio

${\frac {3x+1}{x^{2}-1}}={\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}$

oppure

${\frac {5x^{2}+2x+7}{x^{3}+x^{2}+x+1}}={\frac {5}{x+1}}+{\frac {2}{x^{2}+1}}$

in generale detti $q$ gli zeri di $Q(x)$ presi con la loro molteplicità e $u$ il grado di $Q(x)$ in $x$ allora

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {k_{1}}{x-q_{1}}}+{\frac {k_{2}}{x-q_{2}}}+{\frac {k_{3}}{x-q_{3}}}+...+{\frac {k_{u}}{x-q_{u}}}$

dove i coefficienti $k$ sono le soluzioni dell'equazione

$P(x)=\sum _{n=1}^{u}\prod _{j\not =n}k_{n}\left(x-q_{j}\right)\forall x$

È particolarmente interessante notare che la somma di tutti i coefficienti di ordine 1 deve essere pari a:

$\lim _{x\to \infty }x{\frac {P(x)}{Q(x)}}$

La decomposizione in frazioni parziali è molto utile per ricavare alcuni integrali indefiniti. Ad esempio per trovare l'integrale indefinito di $(x-3)/(x^{2}-1)$ si opera

$\int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=\int _{}{\frac {2}{x+1}}dx-\int _{}{\frac {1}{x-1}}dx$

e quindi

$\int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=2\ln \left(|x+1|\right)-\ln \left(|x-1\right|)+c$

Esempi

• ${\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {A}{x-1}}+{\dfrac {B}{x+1}}$

Notiamo che, moltiplicando tutto per $x-1$, si ottiene:

${\dfrac {1}{x+1}}=A+{\dfrac {B(x-1)}{x+1}}$

Dal momento che $A$ è una costante, essa avrà lo stesso valore per ogni $x$; in particolare, scegliendo $x=1$:

${\dfrac {1}{2}}=A$

Allo stesso modo, moltiplicando tutto per $x+1$:

${\dfrac {1}{x-1}}={\dfrac {A(x+1)}{x-1}}+B$

e dunque, scelto $x=-1$:

$-{\dfrac {1}{2}}=B$

Quindi:

${\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{x-1}}-{\dfrac {1}{x+1}}\right)$

• ${\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {A}{x}}+{\dfrac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

Moltiplichiamo tutto per $x$ e valutiamo in $x=0$:

$1=A$

Allo stesso modo, moltiplichiamo tutto per ${\dfrac {x^{2}+1}{x}}$ e facciamo il limite per $x\to +\infty$:

$B=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x^{2}}}+{\frac {C}{x}}-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)}=-1$

avendo usato il fatto che $A=1$. Infine, moltiplicando tutto per $x^{2}+1$ e facendo il limite per $x\to +\infty$:

$C=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x}}+{B}{x}-{\frac {1}{x}}\right)}=0$

avendo usato il fatto che $A=1,\ B=-1$. In conclusione:

${\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {x}{x^{2}+1}}$