Discussione:Teorema del coseno

Teorema del coseno
Argomento di scuola secondaria di II grado
Materia	matematica
Dettagli
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Progetto Wikipedia e scuola italiana

Passaggio matematico

A me non pare che

${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$

sia esattamente equivalente a

${\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$

come invece s'intendeva dimostrare e si continua a ribadire col ripristino effettuato.
Ma si sa: per taluni la matematica è un'opinione! --185.77.49.253 (msg) 12:44, 24 feb 2022 (CET)

Poi leggo: "Nel caso di un triangolo rettangolo, ossia con $\gamma =\pi /2,$ il quarto termine è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo ($\gamma >\pi /2$) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:[...]".
Io riscriverei: "Nel caso di un triangolo rettangolo ossia con $\gamma =\pi /2$ il prodotto contenuto nell'equazione è nullo e quindi il tutto si riduce al teorema di Pitagora; quando invece il triangolo è ottusangolo ($\gamma >\pi /2$) il calcolo tiene in conto l'angolo supplementare per dimostrare uno dei passaggi intermedi:[...]"
poiché anche lo stile letterario richiede maggiore accuratezza, $\cos \gamma$ è il sesto termine dell'equazione ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .$ e il calcolo non procede proprio allo stesso modo per giungere allo stesso risultato. --185.77.49.253 (msg) 13:28, 24 feb 2022 (CET)

Riguardo al primo intervento (riportato con toni inappropriatamente polemici): nessuno dice o scrive che le due cose siano "esattamente equivalenti". Quello che c'è scritto (forse si può chiarire meglio, ma questo è un discorso diverso dal fatto che sia o meno corretto) è che se $0<\gamma <\pi /2$, allora si deve considerare

${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$

Se invece $\pi /2<\gamma <\pi$, allora si deve considerare

${\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$

Questo perché il disegno cambia e H viene a trovarsi non giacente sul lato BC ma sul prolungamento del lato dalla parte di C e quindi, in questo caso di angolo ottuso, è falso (e non è un'opinione è un fatto) che

${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}},$

ed è invece vero che

${\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}.$

Prova a fare il disegno nei due casi e verifica tu stesso :)

Per quanto riguarda il secondo intervento, sono tendenzialmente d'accordo che si possa scrivere meglio. La polemica su "termine" è sensata, il punto è cosa si intende per "termine" (anche se mi sembra chiaro cosa si intende in questo caso). Nella frase come è scritta ora si intende "addendo", nella frase come l'hai scritta tu, immagino stai intendendo altro (fattore e/o addendo forse?) (e in tal caso stai dimenticando il 2, quindi sarebbe il settimo se non vogliamo contare i quadrati come due termini, altrimenti sarebbe il decimo; e i -1 che danno i segni meno li vogliamo contare?). In ogni caso il calcolo, dopo la sostituzione ${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma$ procede proprio nello stesso identico modo. La specifi dell'angolo supplementare mi sembra superflua essendo specificata nella formula, ma forse si può spiegare meglio, non saprei. Intanto modifico "termine".--Mat4free (msg) 13:42, 24 feb 2022 (CET)

Sono volutamente polemico poiché, nonostante l'evidenza matematica, hai annullato impropriamente una mia modifica continuando a sostenere una tesi non valida. Tralasciando il fatto che Wikipedia si basa sulle fonti e non su ricerche originali, incluse le dimostrazioni matematiche, mi spieghi perché la stessa equazione dovrebbe cambiare i segni dei suoi termini (non dei valori intrinseci) a seconda delle circostanze, soprattutto quando poi si vuole arrivare alla stessa conclusione utilizzando un procedimento diverso?! E lo so pure io che il coseno dell'angolo supplementare ha segno opposto (tranne a 90º quando è 0) ma non per questo cambio il termine della stessa equazione da positivo a negativo: ci pensa il coseno di per sé a cambiare il segno. Uso il termine generico "termine" (giochiamo con le parole!) perché in una somma algebrica è più appropriato dell'utilizzo di addendo, minuendo o sottraendo, specialmente quando all'interno di questi stessi termini vi sono anche delle moltiplicazioni e quindi dei fattori. Avrei utilizzato appositamente il termine "prodotto dell'equazione" proprio per evitare l'ambiguità sul conteggio dei termini della stessa che, in ogni caso, va fatto tenendo conto dei raggruppamenti effettuati dopo ogni operatore espressamente riportato; perciò essendo stato il 2 inglobato nello stesso termine di $2{\overline {BC}}$ va contato una volta sola. Rimane il fatto che hai tentato di dimostrare (direi senza successo) LA STESSA EQUAZIONE del passaggio intermedio precedente con un segno cambiato rispetto a quella di partenza. --151.70.5.223 (msg) 15:17, 24 feb 2022 (CET)

Ritengo che i toni polemici non aiutino in alcun modo a risolvere il problema. L'"evidenza matematica" di cui parli è errata come ho già spiegato, ma cercherò di spiegarmi meglio visto che, evidentemente non sono stato compreso finora.

L'annullamento non era affatto improrio in quanto era stata scritta una cosa falsa che ho già chiarito sopra e che mi sembra tu non abbia nemmeno letto, visto che non mi hai risposto su quanto ho scritto sopra. Provo a rispiegartelo: nel caso in cui $\pi /2<\gamma <\pi$ il piede dell'altezza $H$ viene a trovarsi NON giacente sul lato $BC$ MA sul prolungamento del lato dalla parte di $C$ e quindi, in questo caso di angolo ottuso, è FALSO che

${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}},$

ed è invece VERO che

${\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}.$

Ossia la relazione tra le lunghezze dei segmenti considerati cambia (ti invito nuovamente a fare il disegno). Quindi la "STESSA EQUAZIONE" non si può usare perché in un caso è vera e in un altro è falsa e ne va usata una differente che, però, porta allo stesso identico calcolo e conclusione grazie alla proprietà del coseno dell'angolo supplementare.

Non è possibile cambiare "intrinsecamente" il segno dei "termini" coivolti perché si tratta (per come è stato formulato e formalizzato il problema) di lunghezze di segmenti che sono necessariamente positive (stiamo supponendo che non ci siano casi degeneri e quindi lunghezze nulle, ma in ogni caso sarebbero non negative) e non possono essere negative e quindi necessariamente si deve cambiare il segno davanti all'addendo.

Il fatto che il coseno sia positivo se l'argomento del coseno è un angolo acuto e sia negativo se l'argomento del coseno è un angolo ottuso è un fatto VERO ma che non ha niente a che vedere con la dimostrazione del teorema.

Per le fonti puoi vedere su wikipedia inglese en:Law_of_cosines#Using_the_Pythagorean_theorem (in cui c'è anche il disegno nei due casi) oppure (come riporta wikipedia inglese) direttamente gli Elementi di Euclide (versione elettronica: Java applet version).

Se qualcosa non ti è chiaro di quello che ho scritto, puoi chiederlo gentilmente e te lo provo a rispiegare volentieri. Nel caso tu ritenessi che stessi sbagliando io, sei pregato di indicarmi in quale parte precisamente della mia spegazione è presente l'errore e quale sarebbe l'errore. Non risponderò ulteriormente se i toni saranno ancora polemici o se nemmeno leggerai quanto ho scritto.--Mat4free (msg) 15:58, 24 feb 2022 (CET)