Teorema del coseno
In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.
Il teorema
modificaCon riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:
Dimostrazione con il teorema di Pitagora
modificaApplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo si ha:
dove indica la lunghezza del segmento Risolvendo il triangolo rettangolo si ha anche:
Vale inoltre
Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:
Per la relazione fondamentale questa equazione può essere semplificata in:
Nel caso di un triangolo rettangolo, ossia con il terzo addendo del secondo membro è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo ( ) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la differenza che in questo caso:
e quindi si trova nuovamente
Dimostrazione con vettori
modificaSi considerino i vettori:
Si può quindi scrivere che:
Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:
dove è il prodotto scalare tra e . Usando infine il fatto che si ricava
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul teorema del coseno
Collegamenti esterni
modifica- Teorema del coseno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) law of cosines, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del coseno, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 21832 |
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