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In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Indice

Il teoremaModifica

Con riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

 

Dimostrazione con il teorema di PitagoraModifica

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, si ha:

 

dove   indica la lunghezza del segmento  .

Risolvendo il triangolo rettangolo AHC si ha anche:

 

Vale inoltre

 

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

 .

Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

 

Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo (γ>90°) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:

 

e quindi si trova nuovamente

 

Dimostrazione con vettoriModifica

Si considerino i vettori:

 
 
 

Si può quindi scrivere che:

 

Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:

 
 ,

dove   è il prodotto scalare tra   e  . Usando infine il fatto che   si ricava

 .

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