Disequazione intera

Una disequazione si dice disequazione intera se, messa in forma normale, si presenta nella forma

$P(x)\leq 0$ oppure $P(x)<0$ oppure $P(x)>0$ oppure $P(x)\geq 0$

dove $P(x)$ è un polinomio nella lettera x. In base al grado del polinomio la disequazione intera sarà di primo, secondo, terzo grado,...

Esempi

$2x+1<0$ è una disequazione intera di primo grado.

$x^{2}-10x+9>0$ è una disequazione intera di secondo grado.

$x^{3}\leq 1$ è una disequazione intera di terzo grado, ma non in forma normale.

${\frac {x+3}{x}}>x-2$ è una disequazione fratta, in quanto l'incognita è presente anche a denominatore.

Risoluzione disequazioni intere di primo grado

Fare riferimento alla voce Disequazione.

Risoluzione disequazioni intere di secondo grado

Fare riferimento alla voce disequazione di 2° grado.

Risoluzione disequazioni intere di grado superiore al secondo

Vi sono due metodi risolutivi.

Metodo della scomposizione in fattori e dello studio del segno del prodotto

La procedura prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. fattorizzare il polinomio $P(x)$ a primo membro in fattori di 1° e/o di 2º grado;
3. studiare il segno di ciascun fattore (sempre per $\geq 0$ o per $>0$ in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione);
4. rappresentare graficamente il segno di tutti i fattori e comporre il segno del prodotto;
5. evidenziare quei valori per cui i fattori si annullano con un simbolo particolare (ad esempio O);
6. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di $P(x)$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 1

$x^{3}\leq 1.$

La disequazione non è in forma normale quindi

$x^{3}-1\leq 0.$

Fattorizzazione di $P(x)$.

$(x-1)(x^{2}+x+1)\leq 0.$

Studio del segno dei fattori (sempre per $\geq 0$):

$F_{1}:x-1\geq 0\Rightarrow x\geq 1$;

$F_{2}:x^{2}+x+1\geq 0$ è una disequazione di 2° grado;

$\Rightarrow \Delta <0\Rightarrow$ sempre positiva in $\mathbb {R}$.

Schema del segno di $P(x)$

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\leq 1$.

Esempio 2

$x^{4}\geq 9x^{2}.$

La disequazione non è in forma normale quindi

$x^{4}-9x^{2}\geq 0.$

Fattorizzazione di $P(x)$.

$x^{2}(x^{2}-9)\geq 0$.

Studio del segno dei fattori (sempre per $\geq 0$).

$F_{1}:x^{2}\geq 0$ un quadrato è sempre positivo, nullo per x=0, mai negativo.

$F_{2}:x^{2}-9\geq 0$ è una disequazione di 2° grado.

$\Rightarrow$ (EA) $x^{2}-9=0,\Delta >0,x_{1}=-3,x_{2}=+3\Rightarrow$ positiva per $x<-3\vee x>+3$.

Schema del segno di $P(x)$

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\leq -3\vee x=0\vee x\geq +3$.

Metodo veloce del segno di P(x)

La procedura risolutiva prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. risolvere l'equazione associata (EA) $P(x)=0$ e trovare le soluzioni della EA con la loro molteplicità;
3. rappresentare graficamente il segno di $P(x)$ partendo sempre da destra con il segno del coefficiente della $x$ di grado massimo;
4. nello schema grafico cambiare il segno solo quando si incontra una radice (soluzione) di EA con molteplicità dispari;
5. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di $P(x)$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 3

$x^{3}\leq 1.$

La disequazione non è in forma normale quindi:

$x^{3}-1\leq 0.$

Equazione associata (EA) $P(x)=0$

$x^{3}-1=0.$

Si tratta di una equazione binomia con un'unica soluzione $x=1$ con molteplicità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di $P(x)$

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\leq 1$.

Esempio 4

$-2x^{7}+8x^{6}\leq 0.$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

$-2x^{7}+8x^{6}=0.$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

$x^{6}(-2x+8)=0.$

Le cui soluzioni sono $x=0$ con molteplcità 6 e $x=4$ con molteplcità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale -2 (negativo) dunque:

schema del segno di $P(x)$

Attenzione: in $x=0$ il segno non cambia perché ha molteplicità 6 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\geq 4\vee x=0$.

Esempio 5

$x^{4}-9x^{2}\geq 0.$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

$x^{4}-9x^{2}=0.$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

$x^{2}(x^{2}-9)=0.$

Le cui soluzioni sono $x=0$ con molteplcità 2 e $x=-3$ e $x=3$ con molteplcità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di $P(x)$

Attenzione: in $x=0$ il segno non cambia perché ha molteplicità 2 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\leq -3\vee x=0\vee x\geq +3$.

Casi particolari

Potenze con esponente pari

$(x-3)^{4}<0.$

Questa disequazione presenta a primo membro una potenza con esponente pari. Una potenza con esponente pari è sempre positiva o nulla, mai negativa. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo che non sarà mai verificata.

$S=\varnothing .$

Potenze con esponente dispari

$(2x+1)^{3}\geq 0.$

Questa disequazione presenta al primo membro una potenza con esponente dispari. Una potenza con esponente dispari segue il segno della base. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo sarà verificata quando

$2x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -{\frac {1}{2}}.$

Disequazioni intere con polinomio già fattorizzato

$(x-5)^{4}(x+1)^{3}(x^{4}-16)^{4}<0.$

Questa disequazione presenta a primo membro già un polinomio fattorizzato. In questo caso conviene usare il metodo del segno dei fattori

$F_{1}:(x-5)^{2}\geq 0$ è una potenza con esponente pari, dunque positiva sempre eccetto in $x=5$ dove vale 0;

$F_{2}:(x+1)^{3}\geq 0$ è una potenza con esponente dispari, dunque segue il segno della base $x\geq -1$;

$F_{3}:(x^{4}-16)^{4}\geq 0$ è una potenza con esponente pari, dunque sempre positiva o nulla per $x^{4}-16=0\Rightarrow x^{4}=16\Rightarrow x=\pm 2$.

Schema del segno

Soluzioni.

$P(x)$ deve essere negativo, quindi per $x<-1\land x\neq -2$.

Disequazioni di quarto grado riconducibili al secondo

Un caso particolare di disequazione di quarto grado è il seguente:

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a\leq 0\;\;\;$ (oppure $\geq 0$).

Questo tipo di disequazioni si risolve effettuando una divisione membro a membro per $x^{2}\neq 0$, ossia:

${\frac {ax^{4}}{x^{2}}}+{\frac {bx^{3}}{x^{2}}}+{\frac {cx^{2}}{x^{2}}}+{\frac {bx}{x^{2}}}+{\frac {a}{x^{2}}}\leq 0,$

e quindi, semplificando e raccogliendo i fattori comuni si ottiene:

$a(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+b(x+{\frac {1}{x}})+c\leq 0,$

poi si prosegue ponendo $t$ e $t^{2}$ come segue:

$t=x+{\frac {1}{x}}\;\;\;$, da cui (elevando al quadrato entrambi i membri) si ottiene:

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=t^{2}-2.$

Sostituendo $t$ e $t^{2}$ nella disequazione precedente si ha una comune disequazione di secondo grado:

$at^{2}+bt+c-2a\leq 0.$

Dopo aver risolto la disequazione di secondo grado operiamo la sostituzione inversa di $t=x+{\frac {1}{x}}$ (è molto importante fare attenzione al dominio di risoluzione della disequazione di secondo grado).

Se nella disequazione ottenuta non compare il termine di secondo grado:

$ax^{4}+bx^{3}-bx-a\leq 0,$

allora si raccolgono i fattori comuni e si ottiene:

$(x^{2}-1)(ax^{2}+bx+a)\leq 0.$

Bibliografia

• (IT) Dodero, Baroncini, Manfredi (1999): Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2th edition, Ghisetti e Corvi Editori

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione quadratica
• Disequazione fratta

Collegamenti esterni

• sito con videolezioni sulle disequazioni appuntidimatematica.org