Disequazione logaritmica

Una disequazione logaritmica è una disequazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo, come ad esempio $log_{2}(x+6)<9\;$. È una disequazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è una disequazione logaritmica una disequazione del tipo $x^{5}+44x+log_{3}7>0\;$, perché l'incognita non compare né come argomento né come base del logaritmo.

Risoluzione di una disequazione logaritmica

Per la risoluzione di una disequazione logaritmica del tipo $log_{a}b<c\;$ si deve cercare di ridurre la disequazione in forma canonica utilizzando le proprietà del logaritmi:

$log_{a}b<c\;$ → $log_{a}b<log_{a}k\;$, dove $log_{a}k=c\;$ Ricordando come varia la monotonia della funzione logaritmica in funzione della base (il logaritmo è una funzione crescente per basi $a>1$ e decrescente per basi $0<a<1\;$), si hanno due casi:

$a>1\;$:$\;\;\;\;\;\;log_{a}b<log_{a}k\;\;\;\;\;\;$→$\;b<k$

$0<a<1\;$:$\;\;\;\;\;\;log_{a}b<log_{a}k\;\;\;\;\;\;$→$\;b>k$.

Esempio: $log_{2}(x+5)<3\;$.

$3\;$ può essere riscritto come $log_{2}8\;$. Pertanto:

$log_{2}(x+5)<3\;\;\;\;\;$→$\;\;\;\;\;log_{2}(x+5)<log_{2}8\;\;\;\;\;$→$\;\;\;\;\;x+5<8\;\;\;\;\;$→$\;\;\;\;\;x<3\;$

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi Editori, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Logaritmo
• Disequazione