Distribuzione composta di Poisson

Nell'ambito della teoria delle variabili casuali con distribuzione composta di Poisson si intende la somma di un numero casuale poissoniano di variabili casuale identiche e indipendenti. In particolare si pone

$N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),$

dove N è una variabile casuale poissoniana con valore atteso λ, e

$X_{1},X_{2},X_{3},\dots$

sono variabili casuali indipendenti identicamente distribuite e indipendenti da N.

Allora la somma

$Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$

è una distribuzione di Poisson composta (dove se N = 0, allora Y è 0.)

Se le n variabili casuali sono identicamente distribuite come un'arbitraria variabile casuale X, con valore atteso $\mu$, secondo momento $m_{2}$ e terzo momento $m_{3}$ si ottengono i seguenti parametri

• valore atteso = $\lambda \mu$
• varianza = $\lambda m_{2}$
• coefficiente di asimmetria = $\lambda m_{3}$

Alcune composte di Poisson

Se $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ sono distribuite come la variabile casuale logaritmica allora la composta di Poisson è una variabile casuale binomiale negativa.