Disuguaglianza delle medie

In matematica, la disuguaglianza delle medie serve a confrontare due medie di tipo diverso.

La disuguaglianza

Siano $M_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ e $M_{q}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ due medie di potenze, con $p<q$, di una n-upla di reali positivi $(a_{1},\ldots ,a_{n})$.

Allora $M_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq M_{q}(a_{1},\ldots ,a_{n})$, con uguaglianza se e solo se gli $a_{i}$ sono tutti uguali.

Considerando le medie più note (media armonica (HM), media geometrica (GM), media aritmetica (AM), media quadratica (QM), media cubica (CM)), si può costruire questa catena di disuguaglianze:

$\min\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq CM\leq \max\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}.$

Vale un segno di uguale se e solo se valgono tutti i segni di uguale, e questo se e solo se gli $a_{i}$ sono tutti uguali.