Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni

In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.

Disuguaglianza di BooleModifica

Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A1, A2, A3, ... . Per esso vale la disuguaglianza

 

Disuguaglianze di BonferroniModifica

Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.

Introduciamo le seguenti quantità:

 
 

e per 2 < kn,

 

dove si intende che la somma sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi   soddisfacenti  .

Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che

 

mentre per gli interi pari k ≥ 2

 

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

(EN) Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni, in PlanetMath.

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