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Elettrone degenerato

L'elettrone degenerato è una particolare condizione del gas che compone una stella, che devia dall'andamento statistico normale detto di equilibrio termodinamico.

In condizioni normali, infatti, la pressione del gas è una funzione che dipende essenzialmente da due parametri (temperatura e densità del gas). Nel caso di degenerazione, invece, il gas tende a seguire una differente distribuzione statistica (non più cioè quella dell'equilibrio termodinamico detta di Maxwell-Boltzmann) che prende il nome di distribuzione di Fermi-Dirac.

In questa distribuzione, rientra lo studio di un gas composto di soli elettroni e la cui pressione, in questo caso, sarà una funzione che dipenderà unicamente dalla densità stessa del gas. Volendo, inoltre, si potrebbero considerare due casi di degenerazione: quello non relativistico e quello relativistico, a seconda che il momento della quantità di moto massimo (momento di Fermi) che le particelle possono occupare in una distribuzione degenere sia molto più piccolo o all'incirca uguale alla quantità , dove è la massa dell'elettrone e è la velocità della luce.

Gas di FermiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gas di Fermi.

Consideriamo un sistema quantistico di molte particelle, e guardiamone lo spazio delle fasi. A causa del principio di esclusione, lo spazio delle fasi può essere diviso in tante celle discrete, ognuna di volume

 

e che può contenere al più s particelle, essendo s il numero di stati di spin (s=2 per elettroni, protoni, neutroni).

Per una distribuzione sferica di particelle compresa entro un raggio massimo   ed un momento massimo  , il numero di particelle sarà:

 

e, quindi, la densità di particelle per unità di volume spaziale sarà:

 

dalla quale ricaviamo l'espressione del momento massimo  , detto momento di Fermi

 

e dal quale si ricava l'energia di Fermi

 

e l'energia media di un elettrone sarà

 

Quindi se tutti gli elettroni hanno energia minore di   il gas si dice degenere e gli si può associare una pressione definita in modo termodinamico (se consideriamo   il coefficiente adiabatico e   la densità di energia):

 

detta Pressione di degenerazione.

Ruolo della pressione nelle stelleModifica

La pressione di degenerazione è sempre presente in una stella, ma non fornisce un contributo decisivo al suo sostentamento, poiché ordinariamente minore della pressione  . Se la stella è in una fase di collasso gravitazionale, può accadere che la pressione di degenerazione cresca tanto da superare di gran lunga la pressione ordinaria, a causa dell'aumento di densità della stella. Questo avviene quando la densità raggiunge il valore critico

 

da cui si vede che, anche per temperature relativamente alte, gli elettroni sono degeneri, a patto che la densità sia sufficientemente alta.

Tutto questo è di fondamentale importanza per il sostentamento delle nane bianche e delle stelle di neutroni, le quali si formano entrambe quando, in seguito ad un collasso, la pressione di degenerazione (degli elettroni nelle prime, e dei neutroni nelle seconde) diventa sufficientemente alta da contrastare la pressione gravitazionale.

Voci correlateModifica