Filtrazione (matematica)

In teoria delle probabilità una filtrazione, o base stocastica, su uno spazio è una famiglia crescente di sottotribù di , con . Intuitivamente ogni rappresenta l'informazione disponibile all'istante , ossia tutti gli eventi per i quali si può sapere che si siano verificati oppure no.

Tipi di filtrazioneModifica

Filtrazione completaModifica

Una filtrazione si dice completa se e solo se appartiene ad uno spazio di probabilità completo e per ogni   la  -algebra   contiene tutti gli eventi di   di probabilità nulla. Dato che lo spazio di probabilità è completo i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla sono a loro volta degli eventi contenuti in  .

Filtrazione continua a destraModifica

Una filtrazione si dice continua a destra se e solo se  , con  . In base alla definizione si può vedere in modo intuitivo che in una filtrazione continua a destra la  -algebra   contiene tutti gli eventi dei quali si può sapere la verificabilità o meno agli istanti di tempo successivi.

Filtrazione ipotesi standardModifica

Una filtrazione si dice che soddisfa le ipotesi standard se e solo se è completa e continua a destra.

Spazio di probabilità filtratoModifica

Uno spazio di probabilità   munito di una filtrazione   è chiamato spazio di probabilità filtrato, o spazio filtrato e viene denotato con la quadrupla  . Nel caso in cui lo spazio di probabilità sia munito di una filtrazione che soddisfa le ipotesi standard viene detto spazio filtrato standard.

Processo stocastico adattato ad una filtrazioneModifica

Un processo stocastico  si dice adattato alla filtrazione   se   è misurabile rispetto a  . Quindi, per ogni   appartenente all'insieme dei valori   la variabile aleatoria   deve essere misurabile rispetto a  . In questo caso viene anche detto che   è  -misurabile, cioè la variabile aleatoria   è definita sullo spazio   con valori sullo spazio misurabile di arrivo , ossia   è un'applicazione tale che  . Questo garantisce che per ogni valore   di   appartenente alla filtrazione  , la variabile aleatoria  , che prende come argomento  , è definita nell'insieme dei valori dato da  . Si ottiene, così, la seguente definizione:  .

Filtrazione naturaleModifica

La filtrazione naturale associata ad un processo stocastico   è definita come   ed è la più piccola filtrazione che rende   adattato, in quanto   è la più piccola tribù (o  -algebra) generata da  . La filtrazione naturale contiene la storia del processo   fino all'istante  .

Processo stocastico prevedibileModifica

Ponendo  , un processo stocastico   si dice prevedibile rispetto alla filtrazione   se e solo se per ogni   maggiore o uguale di  , la variabile aleatoria  è misurabile rispetto a  .