Filtrazione (matematica)

Nella teoria delle probabilità una filtrazione, o base stocastica, su uno spazio $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ è una famiglia crescente ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ di sottotribù di ${\mathcal {A}}$, con $I\subseteq \mathbb {R_{+}}$. Intuitivamente ogni ${\mathcal {F}}_{t}$ rappresenta l'informazione disponibile all'istante $t\in I$, ossia tutti gli eventi per i quali si può sapere che si siano verificati oppure no.

Tipi di filtrazione

Filtrazione completa

Una filtrazione si dice completa se e solo se appartiene ad uno spazio di probabilità completo e per ogni $t\in I$ la $\sigma$-algebra ${\mathcal {F}}_{t}$ contiene tutti gli eventi di ${\mathcal {F}}$ di probabilità nulla. Dato che lo spazio di probabilità è completo i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla sono a loro volta degli eventi contenuti in ${\mathcal {A}}$.

Filtrazione continua a destra

Una filtrazione si dice continua a destra se e solo se $\forall {t\in I},{\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}$, con ${\mathcal {F}}_{t+}=\bigcap _{u>t}^{\sup {I}}{\mathcal {F_{u}}}$. In base alla definizione si può vedere in modo intuitivo che in una filtrazione continua a destra la $\sigma$-algebra ${\mathcal {F}}_{t+}$ contiene tutti gli eventi dei quali si può sapere la verificabilità o meno agli istanti di tempo successivi.

Filtrazione ipotesi standard

Una filtrazione si dice che soddisfa le ipotesi standard se e solo se è completa e continua a destra.

Spazio di probabilità filtrato

Uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ munito di una filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ è chiamato spazio di probabilità filtrato, o spazio filtrato e viene denotato con la quadrupla $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I},P)$. Nel caso in cui lo spazio di probabilità sia munito di una filtrazione che soddisfa le ipotesi standard viene detto spazio filtrato standard.

Processo stocastico adattato ad una filtrazione

Un processo stocastico $(X_{t})_{t\in I}$si dice adattato alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ se $\forall t\in I,X_{t}$ è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{t}$. Quindi, per ogni $t$ appartenente all'insieme dei valori $I$ la variabile aleatoria $X_{t}$ deve essere misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{t}$. In questo caso viene anche detto che $X_{t}$ è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile, cioè la variabile aleatoria $X_{t}$ è definita sullo spazio $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)$ con valori sullo spazio misurabile di arrivo$(E,{\mathcal {E}})$, ossia $X_{t}$ è un'applicazione tale che $X_{t}:(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})\longrightarrow (E,{\mathcal {E}})$. Questo garantisce che per ogni valore $\omega$ di $\Omega$ appartenente alla filtrazione ${\mathcal {F}}_{t}$, la variabile aleatoria $X_{t}$, che prende come argomento $\omega$, è definita nell'insieme dei valori dato da ${\mathcal {E}}$. Si ottiene, così, la seguente definizione: $\{\omega \in {\mathcal {F_{t}}}:X_{t}(\omega )\in S\},\forall S\in {\mathcal {E}}$.

Filtrazione naturale

La filtrazione naturale associata ad un processo stocastico $(X_{t})_{t\in I}$ è definita come ${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}:s\leqslant t)\forall {t\in I}$ ed è la più piccola filtrazione che rende $(X_{t})_{t\in I}$ adattato, in quanto $\sigma (X_{s}:s\leqslant t)$ è la più piccola tribù (o $\sigma$-algebra) generata da $(X_{s})_{s\leqslant t}$. La filtrazione naturale contiene la storia del processo $(X_{t})_{t\in I}$ fino all'istante $t$.

Processo stocastico prevedibile

Ponendo $I=\mathbb {N}$, un processo stocastico $(V_{n})_{n\geqslant 1}$ si dice prevedibile rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$ se e solo se per ogni $n$ maggiore o uguale di $1$, la variabile aleatoria $V_{n}$è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{n-1}$.

Bibliografia

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.

Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.

Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.