Filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb

Il filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN), detto anche filtro universale Kerwin-Huelsman-Newcomb, è un filtro biquad a variabili di stato del secondo ordine. Esso, oltre a costituire un'alternativa ad elevato Q per sezioni biquad del secondo ordine a basso Q (ad es. i Sallen-Key), è in grado di produrre simultaneamente uscite: passa basso, passa alto e passa banda a partire da un unico ingresso. La presenza contemporanea di uscite passa basso, passa alto e passa banda apre scenari interessanti nella realizzazione di filtri notch o all-pass, equalizzatori di fase ad elevato Q.

Funzione di trasferimento

Il KHN deriva da una riformulazione della funzione di trasferimento di un filtro biquad passa-alto in termini di rapporto di due funzioni quadratiche.

Considerando, infatti, l'espressione di un biquad passa-alto:

$V_{HP}(s)={\frac {ks^{2}Vi(s)}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}$ (1)

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore del termine a destra nella (1), si ottiene:

${\frac {1}{s^{2}}}*V_{HP}(s)(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})=ks^{2}Vi(s)*{\frac {1}{s^{2}}}$ (2)

isolando V_HP(s) si ottiene:

$V_{HP}(s)=kVi(s)-{\frac {\omega 0}{s}}{\frac {1}{Q}}V_{HP}(s)-{\frac {\omega 0^{2}}{s^{2}}}V_{HP}(s)$(3)

L'eq. (3) mostra che l'uscita passa alto del KHN (V_HP(s)) è il risultato di una combinazione lineare di: un'uscita di tipo passa banda (ottenuto mediante l'integrazione -ω0/s della V_HP(s)) e di un'uscita di tipo passa basso (ulteriore integrazione -ω0/s sull'uscita di tipo passa banda). Uno schema a blocchi, rappresentativo del principio di funzionamento di un filtro universale è riportato di seguito.

È quindi possibile riscrivere l'eq. (3) come:

$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$(4)

con $V_{BP}(s)={\frac {-k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$e $V_{LP}(s)={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$ (5)

È interessante notare che l'uscita V_BP(s) presenta un segno negativo a causa dell'integrazione invertente a cui è sottoposto V_HP(s).

Dall'eq. (5), relativa a V_BP(s), è inoltre possibile derivare il guadagno alla frequenza centrale del passa banda ω0, la quale risulta essere :

$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ$(6)

Implementazione circuitale

Considerando le eq. (3) e (4), risulta necessaria un'implementazione circuitale che faccia uso di due circuiti integratori ed un circuito sommatore che sintetizzi l'eq.(4).:

$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$(4)

A tal proposito è possibile far uso di una configurazione circuitale del tipo:

Circuito sommatore per implementazione V_HP(s) in un filtro universale KHN

Dal momento che, coerentemente con l'eq. (4), la V_LP(s) deve essere riportata con un guadagno di -1 risulta che : $R1=RF$.

Per determinare i parametri k e Q, è possibile far uso del principio di sovrapposizione degli effetti:

Definiamo k $\longrightarrow k={\frac {V_{HP}}{Vi}}|_{VBP=VLP=0}={\frac {R3}{R2+R3}}(1+{\frac {RF}{R1}})={\frac {2R3}{R2+R3}}$(7)

Definiamo Q $\longrightarrow {\frac {1}{Q}}={\frac {V_{HP}}{V_{BP}}}|_{Vi=VLP=0}={\frac {2R2}{R2+R3}}$(8)

Dalla (8) risulta che:

${\frac {R3}{R2}}=2Q-1$ (9)

Tale equazione di progetto ha un'implicazione interessante: diversamente da quanto avviene per i Sallen-Key, dove il rapporto tra le resistenze dipende da Q², limitandone di fatto l'utilizzo per valori elevati di Q, in questo caso la dipendenza risulta essere lineare. Questo consente di utilizzare tale filtro per realizzare Q elevati. Infatti, riprendendo l'eq. (7):

$k={\frac {2{\frac {R3}{R2}}}{\frac {R2+R3}{R2}}}=2-{\frac {1}{Q}}$(9)

Riconsiderando il guadagno a centro banda previsto dall'eq.(6):

$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ=2Q-1={\frac {R3}{R2}}$ (10)

L'implementazione circuitale completa di un filtro KHN è riportata di seguito:

Tale circuito manifesta una $\omega 0={\frac {1}{RC}}$(11)

Sfruttando le uscite di un filtro KHN è possibile realizzare:

• Filtri Notch Biquad (a frequenza centrale, o notch passa basso/ alto)
• Filtri All-Pass Biquad

Filtro Notch Biquad con KHN

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro notch biquad a frequenza centrale, passa alto o passa basso, mediante opportuna combinazione lineare delle uscite V_HP e V_LP, riportata in miniatura.

Fitro Notch Biquad con KHN

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ (12)

con

$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ e $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ (13)

Sostituendo le espressioni di V_HP e V_LP in Vo si ottiene:

$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$(14)

Se si vuole realizzare un notch a frequenza soppressa ω0, bisognerà porre $R_{HP}=R_{LP}$realizzando la forma generalizzata di un filtro notch biquad:

$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(15)

Diversamente, se si vuole realizzare un filtro notch passa basso bisognerà realizzare una condizione generalizzata, che preveda una frequenza soppressa $\omega _{N}\neq \omega 0$ del tipo:

$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega _{N}^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(16)

con $\omega _{N}>\omega 0$. In questo modo, il guadagno del filtro a basse frequenze risulterà essere $|a2|{\frac {\omega _{N}^{2}}{\omega 0^{2}}}$> $|a2|$, guadagno alle alte frequenze. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): $R_{HP}>R_{LP}$.

Discorso del tutto analogo se l'intenzione è quella di realizzare un notch passa alto. In questo caso, $\omega _{N}<\omega 0$, per cui i guadagni si invertono, rispetto al caso precedente. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): $R_{HP}<R_{LP}$.

Filtro passa tutto Biquad con KHN

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro passa tutto biquad, mediante combinazione lineare delle uscite V_HP , V_BP e V_LP, come riportato in miniatura.

Filtro All-Pass Biquad con KHN

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{BP}{\frac {RF}{R_{BP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ (17)

con

$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$, $V_{BP}=-{\frac {k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ e $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$(18)

Sostituendo le espressioni di V_HP , V_BP e V_LP in Vo si ottiene:

$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}-{\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}s+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$(19)

che confrontata con un'espressione generalizzata di un biquad all-pass:

$H_{AP}(s)=a2{\frac {(s^{2}-{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(20)

permette di ricavare alcune considerazioni di tipo circuitale:

$R_{HP}=R_{LP}$ e ${\frac {1}{Q}}={\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}$(21)