Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Viene definita come

${\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi \over 2}.$

Dalla definizione discendono le seguenti identità:

$\sinh(x)\,=\,\tan({\mbox{gd}}(x))$

$\cosh(x)\,=\,\sec({\mbox{gd}}(x))$

${\mbox{csch}}(x)\,=\,\cot({\mbox{gd}}(x))$

$\tanh(x)\,=\,\sin({\mbox{gd}}(x))$

${\mbox{sech}}(x)\,=\,\cos({\mbox{gd}}(x))$

$\coth(x)\,=\,\csc({\mbox{gd}}(x))$

La sua funzione inversa è

${\rm {gd}}^{-1}(x)\,=\,\ln(\tan x+\sec x),$

Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.

Si dimostrano inoltre le seguenti identità:

${d \over dx}\,{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x)$

${d \over dx}\,{\mbox{gd}}^{-1}(x)=\sec(x)$

Bibliografia

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

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