Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor $\mathrm {Ki} _{n}(x)$ , dove $n\in \mathbb {N}$ e $x\in \mathbb {R}$ sono definite come:

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh u}}{\cosh ^{n}u}}\,du,

dove $cosh$ è la funzione coseno iperbolico.

Proprietà

Si ha:

{\frac {d}{dx}}\mathrm {Ki} _{n}(x)=-\mathrm {Ki} _{n-1}(x).

Per $n=0$ ,

\mathrm {Ki} _{0}(x)=\mathrm {K} _{0}(x)

dove $\mathrm {K} _{0}$ è una funzione di Bessel modificata.

Per $n=1$

\mathrm {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }\mathrm {K} _{0}(t)\,dt.

La funzione $\mathrm {Ki} _{1}(x)$ è anche collegata con l'integrale di Sievert:

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi e^{-x/\cos \phi }=\mathrm {Ki} _{1}(x).

Più generalmente,

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi \cos ^{n-1}\phi e^{-x/\cos \phi }

.

Le funzioni di Bickley-Naylor si incontrano in problemi di diffusione dei neutroni e problemi di convezione.

(EN) W. G. Bickley, Some solutions of the problem of forced convection, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londraid= DOI: 10.1080/14786443508561482, Taylor & Francis, 1935, pp. 322-343.
(EN) W. G. Bickley, John Nayler, A short table of the functions Ki_n(x), from n=1 to n=16, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londra, Taylor & Francis, 1935, pp. 343-347, DOI: 10.1080/14786443508561483.
(EN) J. M. Blair, C. A. Edwards; J. H. Johnson, Rational Chebyshev Approximations for the Bickley Functions Ki_n(X), in Mathematics of Computation, vol. 32, n. 143, American Mathematical Society, luglio 1978, pp. 876-886, JSTOR 2006492.

BICKLEY-NAYLOR FUNCTIONS Ki_n(x) AND THEIR PROPERTIES (PDF), su www2.ogu.edu.tr. URL consultato il 21 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2010).
(EN) Digital Library of Mathematical Functions, Fractional Integrals, su dlmf.nist.gov. URL consultato l'11 novembre 2012.