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Moto browniano

moto disordinato delle particelle nei fluidi
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il processo stocastico, vedi Processo di Wiener.

Con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato di particelle sufficientemente piccole (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide,[1] ed osservabile al microscopio.

Il fenomeno fu scoperto agli inizi dell'Ottocento dal botanico scozzese Robert Brown,[1] e modellizzato nel 1905 dal fisico teorico tedesco Albert Einstein.[1][2]

Il termine viene usato per indicare sia il fenomeno naturale sia la sua rappresentazione matematica, la quale può descrivere l'andamento temporale di una classe molto ampia di fenomeni casuali. Un'importante categoria di fenomeni rappresentabili con gli strumenti matematici del moto browniano è costituita dall'andamento dei mercati finanziari, come dimostrato sin dal 1900 dal matematico francese Louis Bachelier, nel suo lavoro Théorie de la spéculation.[3]

Cenni storiciModifica

Sebbene una prima osservazione del fenomeno fosse avvenuta già nel 1785 da parte di Jan Ingenhousz, il termine "moto browniano" deriva dal nome di Robert Brown, che lo osservò nel 1827 mentre studiava al microscopio le particelle di polline della Pulchella clarkia in acqua: egli osservò che i granuli di polline erano in continuo movimento e che in ogni istante tale moto avveniva lungo direzioni casuali.

Dopo avere appurato che il movimento non era dovuto a correnti o evaporazione dell'acqua, Brown pensò che queste particelle fossero "vive", analogamente agli spermatozoi. Verificò quindi la sua teoria eseguendo lo stesso esperimento con una pianta morta, con minuscoli frammenti di legno fossile e con frammenti di vetro, osservando tuttavia lo stesso fenomeno. Ciò significava che il movimento delle particelle non era da attribuire ad alcuna "forza vitale", ma Brown non seppe fornire nessun'altra spiegazione a tale fenomeno.

Alla fine del sec. XIX, il chimico francese Leon Gouy ipotizzò per primo che il moto osservato da Brown fosse dovuto all'agitazione termica degli atomi costituenti la materia, ma non sviluppò una teoria verificabile del fenomeno.[4] Nel 1905 Albert Einstein pubblicò "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Bewegung von Wärme geforderte in ruhenden suspendierten Flüssigkeiten Teilchen"[5], uno degli articoli prodotti durante il suo annus mirabilis; in esso Einstein fornì una spiegazione fisica del moto browniano, attribuendone la causa agli urti dei granuli di polline con le molecole d'acqua, a loro volta mosse dall'agitazione termica. Egli riuscì inoltre a dare una descrizione quantitativa del fenomeno, che poteva essere sperimentalmente verificata. A questo articolo seguirono, nei tre anni successivi, altri contributi sullo stesso argomento.[6]

La prima verifica sperimentale dei risultati di Einstein è dovuta a J. B. Perrin, che per questo, ed altri risultati, ottenne nel 1926 il premio Nobel. Si deve a Perrin anche il libro Les atomes ("Gli atomi", 1913), molto noto all'epoca, che contribuì a sostenere e diffondere la nuova teoria sulla struttura atomica della materia, dimostrata, tra l'altro, proprio dal moto browniano.

Da un punto di vista teorico, il lavoro di Einstein fu ulteriormente sviluppato da M. Smoluchowski e P. Langevin. I loro contributi sono all'origine del nuovo campo dei processi stocastici e delle equazioni differenziali stocastiche, che estendono gli strumenti matematici inizialmente sviluppati per il moto browniano alla rappresentazione di una vasta classe di fenomeni, di interesse, oltre che della fisica, anche della chimica, della teoria delle telecomunicazioni e della finanza.

Tra gli sviluppi matematici della trattazione dei moti browniani successivi al lavoro di Einstein è particolarmente noto quello proposto da N. Wiener nel 1923, noto come processo di Wiener.[7]

IntroduzioneModifica

Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecole che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio disperdendovi delle particelle colorate molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.

Questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di urto con le molecole del fluido in cui è immersa.

Quanto più piccole sono le particelle tanto più rapido è il moto browniano. Questo moto contrasta la forza di gravità e rende stabili le soluzioni colloidali. Questa caratteristica permette di valutare se una sospensione di particelle abbia carattere colloidale o no: infatti all'aumentare delle dimensioni delle particelle la dispersione colloidale si avvicinerà sempre più ad una sospensione in cui le risultanti degli urti con la fase disperdente sarà pressoché nulla, presentando un moto Browniano quasi nullo (ciò che avviene nel fluido non newtoniano).

Trattazione matematica del moto brownianoModifica

 
Esempio della traiettoria seguita da una particella in moto browniano

Consideriamo una particella di massa   immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, a una temperatura   Questa particella sarà soggetta:

  • alla forza di attrito viscoso  , dove   è il coefficiente di attrito viscoso e   è la velocità della particella stessa
  • alla forza   risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido.

Riguardo alla forza aleatoria   possiamo fare le seguenti ipotesi:

  1. Isotropia: la forza non ha direzioni privilegiate e quindi il suo valore medio è nullo:  .
  2. Scorrelazione: la forza fluttua continuamente ed in ogni momento non è correlata con il suo valore ad un istante precedente e quindi  .
  3. Normalità: la forza è il risultato di un numero molto alto di eventi tra di loro indipendenti. Ammettendo che la varianza della distribuzione di probabilità di ciascuno di questi eventi sia finita, possiamo applicare il teorema del limite centrale. A sua volta, questo teorema ci consente di assumere che la forza sia distribuita gaussianamente.

La prima equazione cardinale assume la forma

 

che ha come soluzione

 

e quindi

 .

Integrando ancora la velocità si ottiene che lo spostamento è dato da

 

e quindi, prendendo la media sulla forza aleatoria  , nel caso  ,

 

Per tempi lunghi ( ) questa equazione si semplifica in

 

dove la costante definita da

 

è detta diffusività di materia.

L'equazione di diffusioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Relazione di Einstein-Smoluchowski.

Macroscopicamente, una particella soggetta ad un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo  , uno spostamento   distribuito come una gaussiana con media nulla e varianza  . Un metodo per analizzare questo moto è quello di studiare come evolve la distribuzione di probabilità   di trovare la particella nella posizione   ad un tempo  .

Questa può essere riscritta come la probabilità che la particella si trovi in   ad un tempo t moltiplicata per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di tempo  , la particella si sia spostata da   a  , integrata su tutti gli  

 

dove la probabilità condizionata, per quanto detto sopra, può essere scritta come

 

per   piccoli anche   sarà piccolo e quindi possiamo effettuare uno sviluppo in serie di Taylor per ottenere

 

che è la ben nota equazione di diffusione.

L'equazione di Fokker-PlanckModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Fokker-Planck.

Se introduciamo una forza esterna (generata da un potenziale U) a cui la particella è soggetta

 

possiamo pensare che in assenza della forza aleatoria la particella raggiungerebbe una certa velocità limite

 

per effetto dell'attrito viscoso. Possiamo quindi scrivere che:

 
 .

Inserendo questi termini nello sviluppo di   si ottiene

 

che è la generalizzazione dell'equazione di diffusione al caso di forze esterne non nulle, ed è nota come equazione di Fokker-Planck.

Bachelier e la rappresentazione matematica dei mercati finanziariModifica

Il matematico francese Louis Bachelier nella sua tesi di dottorato del 1900 sulla "Théorie de la spéculation" sviluppò una teoria, basata su un approccio statistico, con lo scopo di dare conto dell'andamento dei prezzi dei titoli alla Borsa di Parigi. Gli strumenti matematici da lui usati sono molto simili a quelli adoperati da Einstein nell'analisi del moto browniano, e ne condividono i presupposti fondamentali: che le variazioni della grandezza in esame (i prezzi dei titoli in questo caso, gli spostamenti in quello del moto delle particelle) sono indipendenti da quelle precedenti, e che la distribuzione di probabilità di tali variazioni è gaussiana. Per questo lavoro, che rappresenta la prima rappresentazione matematica dell'andamento nel tempo di fenomeni economico-finanziari, Bachelier è considerato il padre della finanza matematica[8]; in suo onore William Feller ha proposto di indicare il processo di Wiener come processo di Bachelier - Wiener.

Successivamente alla tesi di Bachelier del 1900, il suo metodo per lungo tempo è caduto in disuso e non è stato ulteriormente sviluppato con specifico riferimento ai mercati finanziari. Soltanto a partire dagli anni sessanta i sostenitori dell'ipotesi di efficienza dei mercati (secondo la quale il prezzo di un'attività racchiuda in sé tutta la storia passata) hanno usato la matematica di Bachelier, nella versione più aggiornata rappresentata dal processo di Wiener, per rappresentare l'andamento dei prezzi dei titoli in un mercato finanziario. Da allora questo approccio è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973, che dall'ipotesi di variazioni "browniane" dei prezzi dei titoli finanziari deriva una formula per stimare l'andamento nel tempo dei prezzi dei prodotti finanziari derivati. Il termine oggi più usato per indicare questa rappresentazione matematica fa riferimento al concetto di "cammino casuale", o random walk.

Oggi, mentre la matematica del moto browniano comunemente utilizzata in fisica è basata sul calcolo stocastico di Stratonovic, in finanza si utilizzano per lo più il calcolo stocastico di Itō e di Malliavin. Applicazioni numeriche nel pricing dei prodotti finanziarie spesso ricorrono a metodi di simulazione Monte Carlo.

Per finire, va citato il fatto che negli ultimi decenni molti autori (tra di essi, B. Mandelbrot e N. Taleb) hanno messo in luce le limitazioni del modello teorico di Bachelier e le sue difficoltà a rappresentare correttamente i mercati finanziari, principalmente a causa dei suoi presupposti già citati (indipendenza delle variazioni dei prezzi dal loro andamento passato e loro distribuzione gaussiana).

NoteModifica

  1. ^ a b c (EN) Thermopedia, "Brownian Motion"
  2. ^ Albert Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, in Annalen der Physik.
  3. ^ (FR) L. Bachelier, Théorie de la spéculation, in Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, vol. 17, 1900, pp. 21–86, DOI:10.24033/asens.476. URL consultato il 29 maggio 2019.
  4. ^ R. Maiocchi, "The case for Brownian motion", abstract
  5. ^ in italiano: Sulla teoria cinetico-molecolare del movimento dovuto al calore di particelle sospese in liquidi a riposo
  6. ^ "Zur theorie der Brownschen bewegung", 1906; "Theoretische bemerkung über die Brownsche bewegun", 1907; "Elementare teorie der Brownschen bewegung", 1908.
  7. ^ Sugli aspetti storici dello sviluppo della teoria del moto browniano si rimanda all'articolo: Leon Cohen, The history of noise, IEEE Transactions on signal processing, novembre 2005 (dalla home page del prof. A. Vulpiani dell'Università di Roma La Sapienza)
  8. ^ B. Mandelbrot, R. Hudson: "Il disordine dei mercati. Una visione frattale di rischio, rovina e redditività", Einaudi, 2005, ISBN 88-06-16961-0; cap. III

BibliografiaModifica

  • I lavori originali di Einstein sono stati ripubblicati più volte in traduzione inglese, ad esempio in:
    • Investigations on the Theory of the Brownian Movement, BN Publishing, 2011, ISBN 978-1607962854. oppure
    • Investigations on the Theory of the Brownian Movement (Dover Books on Physics), Dover Publications, 1956, ISBN 978-0486603049.
  • Jean Baptiste Perrin, Les Atomes (1913) (reperibile in traduzione inglese in https://archive.org/details/atomsper00perruoft)
  • Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
    • Vol I, cap.41: Il moto browniano
  • Appunti di meccanica statistica, Luca Peliti, Bollati Boringhieri (2003).
  • T. Hida, Brownian Motion, Springer, 1980.
  • I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1998.
  • Revuz D., M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1991.
  • Black, F. e Scholes, M. (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81 (30), 637-654.
  • Mark Haw, Middle World: The Restless Heart of Matter and Life, Macmillan (Nov. 2006) - Nel mondo di mezzo: il moto browniano tra materia e vita, Zanichelli (2008).
  • Gershenfeld, N. (1999). The Nature of Mathematical Modelling.
  • Resnick, S. (1992). Adventures in stochastic processes. Birkhauser.

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